1、第1讲曲线运动运动的合成与分解一、曲线运动1.速度的方向:质点在某一点的速度,沿曲线在这一点的 切线方向 。2.运动的性质:做曲线运动的物体,速度的方向时刻在改变,所以曲线运动一定是 变速 运动。3.曲线运动的条件:物体所受 合力 的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的 加速度 方向与速度方向不在同一条直线上。二、运动的合成与分解1.运算法则:位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循 平行四边形 定则。2.合运动和分运动的关系(1)等时性:合运动与分运动经历的时间 相等 。(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动时,各分运动 独立 进行,不受其他分运动的影响。(3)等效性:各分
2、运动叠加起来与合运动有完全 相同 的效果。1.判断下列说法对错。(1)速度发生变化的运动,一定是曲线运动。()(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。()(3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。()(4)曲线运动可能是匀变速运动。()(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。()(6)只要两个分运动为直线运动,合运动一定是直线运动。()2.如图所示,水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁,下列关于小球运动的说法正确的是()A.磁铁放在A处时,小铁球做匀速直线运动B.磁铁放在A处时,小铁球做匀加速直线运动C.磁铁放在B处时,小铁球做匀速圆周运动
3、D.磁铁放在B处时,小铁球做变加速曲线运动2.答案D3.(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目,如图所示,当运动员从直升机上由静止跳下后,在下落过程中将会受到水平风力的影响,下列说法中正确的是()A.风力越大,运动员下落时间越长,运动员可完成更多的动作B.风力越大,运动员着地速度越大,有可能对运动员造成伤害C.运动员下落时间与风力无关D.运动员着地速度与风力无关3.答案BC考点突破考点一物体做曲线运动的条件与轨迹分析1.曲线运动的条件及特点条件特点图示质点所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上(v00,F0)(1)轨迹是一条曲线(2)某点的瞬时速度的方向,就是通过这一点的切线的
4、方向(3)曲线运动的速度方向时刻在改变,所以是变速运动,一定有加速度(4)合外力F始终指向运动轨迹的内(或凹)侧2.合力方向与速率变化的关系1.(多选)一个质点在恒力F的作用下,由O点运动到A点的轨迹如图所示,在A点时的速度方向与x轴平行,则恒力F的方向可能沿图示中的() A.F1的方向B.F2的方向C.F3的方向D.F4的方向答案CD曲线运动受到的合力总是指向曲线凹的一侧,但和速度永远不可能达到平行的方向,所以合力可能沿着F3的方向、F4的方向,不可能沿着F1的方向或F2的方向,C、D正确,A、B错误。2.(多选)(2019山东济南期末)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O,如图所示,与
5、此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy,则()A.因为有Fx,质点一定做曲线运动B.如果FyFytan,质点向x轴一侧做曲线运动答案CD如果Fy=Fx tan ,则Fx、Fy二力的合力沿v0方向,质点做直线运动,选项A错误,C正确;若FxFytan,则Fx、Fy二力的合力方向在v0与x轴正方向之间,则质点做曲线运动且轨迹向x轴一侧弯曲,若FxFytan,则Fx、Fy二力的合力方向在v0与y轴正方向之间,所以质点做曲线运动且轨迹向y轴一侧弯曲,选项D正确;因不知的大小,所以只凭Fx、Fy的大小不能确定Fx与Fytan的大小关系,故不能确定F合的方向范围,选项B错误。考点二
6、运动的合成与分解1.合运动与分运动的关系等时性各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等独立性一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,不受其他分运动的影响等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果2.合运动的性质判断加速度(或合外力)变化:变加速运动不变:匀变速运动加速度(或合外力)与速度方向共线:直线运动不共线:曲线运动3.两个直线运动的合运动性质的判断两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动续表两个互成角度的分运动合运动的性质两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动
7、如果v合与a合共线,为匀变速直线运动如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动1.(多选)如图甲所示,在杂技表演中,猴子沿竖直杆向上运动,其v-t图像如图乙所示,人顶着杆沿水平地面运动,其x-t图像如图丙所示。若以地面为参考系,下列说法中正确的是()A.猴子的运动轨迹为直线B.猴子在2 s内做匀变速曲线运动C.t=0时猴子的速度大小为8 m/sD.t=2 s时猴子的加速度大小为4 m/s2答案BD由题图乙、丙可以看出,猴子在竖直方向做初速度v0y=8 m/s、加速度ay= -4 m/s2的匀减速直线运动,人在水平方向做速度vx=-4 m/s的匀速直线运动,故猴子的加速度a=ay=-4 m/s2,初
8、速度大小v=82+42 m/s=45 m/s,方向与加速度方向不在同一条直线上,故猴子做匀变速曲线运动,选项B、D正确,A、C错误。2.(2020河北承德期末)如图所示,一块可升降白板沿墙壁竖直向上做匀速运动,某同学用画笔在白板上画线,画笔相对于墙壁从静止开始水平向右先匀加速、后匀减速直到停止,取水平向右为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向,则画笔在白板上画出的轨迹可能为()答案D画笔相对于墙壁从静止开始水平向右先匀加速、后匀减速直到停止,同时白板沿墙壁竖直向上做匀速运动,根据做曲线运动的物体所受合外力一定指向曲线凹侧,则笔在竖直方向始终匀速,在水平方向先向右加速时,曲线向上弯曲;后向左减速,则
9、曲线向下弯曲,故D正确,A、B、C错误。考点三运动分解中的两类模型1.小船渡河的两类问题、三种情境图示说明渡河时间最短当船头垂直河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin=dv船渡河位移最短当v水v船时,如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直,渡河位移最短,最短渡河位移为xmin=v水dv船2.绳(杆)端速度分解模型(1)模型特点:绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)以及两物体通过绳(杆)相连,物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上,求解运动过程中它们的速度关系,都属于该模型。(2)解题原则:根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。(3)谨记解题思路例(多选)如图所示,有一个沿水平方向做匀速直线运动的
10、半径为R的半圆柱体,半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆,在竖直杆未到达半圆柱体的最高点之前()A.半圆柱体向右匀速运动时,竖直杆向上做匀减速直线运动B.半圆柱体向右匀速运动时,竖直杆向上做减速直线运动C.半圆柱体以速度v向右匀速运动,杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时,竖直杆向上的运动速度为v tan D.半圆柱体以速度v向右匀速运动,杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时,竖直杆向上的运动速度为v sin 审题建模以杆与半圆柱体接触点为研究对象,沿接触点的弹力方向即半径方向两物体的速度分量相等。半圆柱体可以简化为长度为R的杆OA,O点代表半圆柱体的运动,
11、A点代表杆AB的运动,如图所示。答案BCO点向右运动,O点的运动使杆AO绕A点逆时针转动的同时,沿杆OA方向向上推动A点;竖直杆的实际运动(A点的速度)方向竖直向上,使A点绕O点逆时针转动的同时,沿OA方向(弹力方向)与OA杆具有相同的速度。速度分解如图所示,对O点,v1=v sin ,对于A点,vA cos =v1,解得vA=v tan ,O点(半圆柱体)向右匀速运动时,杆向上运动,角减小, tan 减小,vA减小,但杆不做匀减速运动,A错误,B正确;由vA=v tan 可知C正确,D错误。考向1小船渡河问题1.小船在200 m宽的河中横渡,水流速度为2 m/s,船在静水中的速度为4 m/s
12、。(1)若小船的船头始终正对对岸,它将在何时、何处到达对岸?(2)要使小船到达正对岸,应如何航行?历时多长?(3)小船渡河的最短时间为多长?(4)若水流速度是5 m/s,船在静水中的速度是3 m/s,则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短?最短距离是多少?答案见解析解析(1)小船参与了两个分运动,即船随水漂流的运动和船在静水中的运动。因为分运动之间具有独立性和等时性,故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间,即t1=dv船=2004 s=50 s小船沿水流方向的位移s水=v水t1=250 m=100 m即船将在正对岸下游100 m处靠岸(2)要使小船到达正对岸,合速度v应垂直于河岸,如图
13、甲所示,则甲cos 1=v水v船=2m/s4m/s=12,故1=60即船的航向与上游河岸成60,渡河时间t2=dv=2004sin60 s=10033 s。(3)考虑一般情况,设船头与上游河岸成任意角2,如图乙所示。船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v=v船 sin 2,故小船渡河的时间t=dv船 sin 2。当2=90,即船头与河岸垂直时,渡河时间最短,最短时间tmin=50 s乙(4)因为v船=3 m/svB B.vAvBC.绳的拉力等于B的重力D.绳的拉力大于B的重力答案AD小车A向左运动的过程中,小车的速度是合速度,可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度,如图所示,由图可知vB=v
14、A cos ,则vBvA,小车向左运动的过程中角减小,vB增大,B向上做加速运动,故绳的拉力大于B的重力。故选项A、D正确。2.如图所示,AB杆以恒定角速度绕A点转动,并带动套在光滑水平杆OC上的质量为M的小环运动,运动开始时,AB杆在竖直位置,则小环M的速度将()A.逐渐增大 B.先减小后增大C.先增大后减小D.逐渐减小答案A设经过时间t,OAB=t,则AM的长度为hcost,则AB杆上小环M绕A点的线速度v=hcost。将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解,垂直于AB杆方向的分速度大小等于小环M绕A点的线速度v,则小环M的速度v=vcost=hcos2t,随着时间的延长,小环的
15、速度将不断变大,故选项A正确,B、C、D错误。A组基础过关1.一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用,由静止开始运动,若运动过程中保持二力方向不变,但F1突然增大到F1+F,则质点以后()A.一定做匀变速直线运动B.在相等时间内速度的变化量一定相等C.可能做匀速直线运动D.可能做变加速曲线运动1.答案B在互成锐角的恒力F1和F2作用下,质点由静止开始运动,做匀加速直线运动。当保持F1、F2方向不变,F1大小突然增大到F1+F,则此时合力的方向与速度方向不共线,质点做曲线运动。由于合力恒定,所以质点做匀变速曲线运动,加速度是定值,所以在相等的时间内速度的变化量一定相等,故B正确,A、C、D错
16、误。2.关于两个运动的合成,下列说法正确的是()A.两个直线运动的合运动一定也是直线运动B.方向不共线的两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动C.小船渡河的运动中,小船的对地速度一定大于水流速度D.小船渡河的运动中,水流速度越大,小船渡河所需时间越短2.答案B两个直线运动可以合成为直线运动(匀速直线运动+匀速直线运动),也可以合成为曲线运动(匀变速直线运动+匀速直线运动),故选项A错误;两个分运动为匀速直线运动,没有分加速度,合运动就没有加速度,则合运动一定是匀速直线运动,则选项B正确;小船对地的速度是合速度,其大小可以大于水速(分速度)、等于水速或小于水速,故选项C错误;渡河时间由小船
17、垂直河岸方向的速度决定,由运动的独立性知与水速的大小无关,选项D错误。3.2019年8月,我国山东部分地区遭受洪涝灾害,一摩托艇要到正对岸抢救物质,关于该摩托艇能否到达正对岸的说法中正确的是()A.只要摩托艇向正对岸行驶就能到达正对岸B.只有摩托艇的速度大于水流速度,摩托艇才能到达正对岸C.虽然水流有较大的速度,但只要摩托艇向上游某一方向行驶,一定能到达正对岸D.不论摩托艇怎么行驶,都可能到达正对岸3.答案B设摩托艇行驶方向与上游河岸夹角为,要使摩托艇能到达正对岸,必有 v艇 cos =v水,故不是任意角,故A、C错误;由于cos 1,结合A分析可知,B正确;由A分析知,当v艇v水时,无论摩托
18、艇怎么行驶,都不能到达正对岸,故D错误。4.有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为()A.kvk2-1B.v1-k2C.kv1-k2D.vk2-14.答案B设河宽为d,船速为u,由于去程小船的船头始终垂直于河岸,则去程所用时间t1=du;由于回程小船的航线垂直于河岸,则回程所用时间t2=du=du2-v2;根据题意有k=t1t2,解得u=v1-k2,故选B项。5.民族运动会上有一个骑射项目,运动员骑在奔驰的马背上,弯弓放箭射击侧向
19、的固定目标M。假设运动员由A点沿AB方向骑马奔驰的速度为v1,运动员静止时射出的弓箭速度为v2,直线跑道离固定目标M的最近距离为d,要想在最短的时间内射中目标(不计空气阻力和弓箭重力的影响),则下列说法中正确的是()A.射中目标M的最短时间为dv1B.箭的位移为dC.在AB间某处射出,箭头指向MD.在AB间某处射出,箭头指向垂直于AB方向5.答案D要在最短的时间内射中目标,运动员放箭时应使箭的合速度方向对准固定目标,箭头指向垂直于AB方向,如图所示,根据分运动具有等时性,可得箭射出时的位置距B点的距离为dv1v2,射中目标的最短时间为dv2,箭的位移为d1+v1v22,所以只有D正确。6.如图
20、所示,细线一端固定在天花板上的O点,另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴一个橡胶球,橡胶球静止时,竖直悬线刚好挨着水平桌面的边缘。现将CD光盘按在桌面上,并沿桌面边缘以速度v匀速移动,移动过程中,CD光盘的中央小孔始终紧挨桌面边线,当悬线与竖直方向的夹角为时,小球上升的速度大小为()A.v sin B.v cos C.v tan D.vtan6.答案A由题意可知,悬线与光盘的交点参与两个方向的运动,一是沿着线方向的分运动,另一个是垂直线方向的分运动。合运动的速度大小为v,悬线与光盘交点处的速度分解如图所示,由三角函数知识可知沿线方向速度v线=v sin ;沿线方向的分速度等于小球上升的速度,故
21、A项正确。7.(多选)玻璃生产线上,宽12 m的成型玻璃以8 m/s的速度向前运动,在切割工序处,割刀速度为10 m/s,为了使割的玻璃板都成规定尺寸的矩形,则下列说法正确的是()A.割刀在沿玻璃板运动方向的分速度与玻璃板移动的速度相同B.割刀与运动方向的夹角为37C.切割一次的时间为1.5 sD.若玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向前运动,要将玻璃切割成一角为45的平行四边形,可使割刀朝着沿玻璃板运动方向的分速度为8 m/s的方向进行切割7.答案ABD玻璃板被切成矩形,说明割刀在沿玻璃板运动方向的分速度与玻璃板移动的速度相同,选项A正确;如图甲所示,有cos =v板v刀=45,故割刀实际移
22、动方向与玻璃板移动方向间的夹角为=37,割刀相对玻璃板的速度为v相=v刀2-v板2=6 m/s,故切割一次的时间为t=dv相=2 s,选项B正确,C错误;切割为平行四边形时,割刀在沿玻璃板运动方向的分速度与玻璃板移动的速度不相同,又要求平行四边形有一个角为45,故沿玻璃板运动方向割刀相对玻璃的速度vx与垂直玻璃运动方向的相对速度vy相等,即vx=vy,由于玻璃板只沿一个方向运动,故vy就是割刀的另一分速度,如图乙所示,则(vx+2 m/s)2+(vy)2=v刀2,又v刀=10 m/s,故vx= 6 m/s(vx=-8 m/s舍去),故割刀沿玻璃板运动方向的分速度为8 m/s,D正确。甲乙8.(
23、2019湖北龙泉中学、宜昌一中联考)某人用绳子通过定滑轮拉物体A,A穿在光滑的竖直杆上,人以速度v0匀速向下拉绳,当物体A到达如图所示位置时,绳与竖直杆的夹角为,则物体A实际运动的速度是()A.v0cos B.v0sin C.v0 cos D.v0 sin 8.答案A将A的速度以运动效果分解为沿绳方向和垂直于绳方向的速度,如图所示,拉绳的速度等于A沿绳方向的分速度,根据平行四边形定则得,实际速度v=v0cos,选项A正确。9.(多选)如图所示,用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M,长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴,其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处,在杆的中点C处拴一细绳,通过两
24、个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L,现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动,由竖直位置以角速度转至水平,此过程中下列说法正确的是()A.重物M做匀速直线运动B.重物M做匀变速直线运动C.重物M的最大速度是LD.重物M的速度先增大后减小9.答案CD与杆垂直的速度v是C点的实际速度,vT是细绳的速度,即重物M的速度。设vT与v的夹角是,则vT=v cos ,开始时减小,则vT增大;当杆与细绳垂直(=0)时,重物M的速度最大,为vmax=L,然后再减小,C、D正确。10.一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑,如图所示,当轻杆到达位
25、置2时球A与球形容器球心等高,其速度大小为v1,已知此时轻杆与水平方向成=30角,球B的速度大小为v2,则()A.v2=12v1B.v2=2v1C.v2=v1D.v2=3v110.答案C球A与球形容器球心等高,速度v1方向竖直向下,速度分解如图所示,有v11= v1 sin 30=12v1,球B此时速度方向与杆成=60角,因此v21=v2 cos 60=12v2,沿杆方向两球速度相等,即v21=v11,解得v2=v1,C项正确。B组能力提升11.(多选)一质点在xOy平面内运动轨迹如图所示,下列判断正确的是()A.质点沿x方向可能做匀速运动B.质点沿y方向可能做变速运动C.若质点沿y方向始终匀
26、速运动,则x方向先加速后减速D.若质点沿y方向始终匀速运动,则x方向先减速后反向加速11.答案BD质点做曲线运动过程中合力指向轨迹凹的一侧,则加速度指向轨迹凹的一侧,由图可知x轴方向有分加速度,所以x轴方向不可能匀速,y方向可能有分加速度,故质点沿y方向可能做变速运动,A错误,B正确;若质点沿y方向始终匀速运动,则x方向先减速后反向加速,故C错误,D正确。12.如图所示,一根长为L的轻杆OA,O端用铰链固定,轻杆靠在一个高为h的物块上,某时刻杆与水平方向的夹角为,物块向右运动的速度为v,则此时A点速度为()A.LvsinhB.LvcoshC.Lvsin2hD.Lvcos2h12.答案C如图所示
27、,根据运动的合成与分解可知,接触点B的实际运动为合运动,可将B点运动的速度vB=v沿垂直于杆和沿杆的方向分解成v2和v1,其中v2=vB sin =v sin 为B点做圆周运动的线速度,v1=vB cos 为B点沿杆运动的速度;OB=hsin,由于B点的线速度为v2= v sin =OB,所以=vsinOB=vsin2h,所以A的线速度vA=L=Lvsin2h,选项C正确。13.(多选)如图甲所示,竖直圆筒内壁光滑,半径为R,在侧壁同一竖直线上有A、B两小孔相距h,将一小球从上部A孔沿筒内壁水平射入筒中,小球紧贴筒内壁运动,并恰好能到达下部小孔B,所用时间为t1,到达下部小孔B时的速度大小为v
28、B。如图乙所示,用光滑细钢丝绕成的螺距相同的柱形螺线管,横截面半径也为R,竖直固定,钢丝上下两端C、D恰好在同一竖直线上,相距h,一小铜环穿在钢丝上从上端C无初速下滑到达底端D,所用时间为t2,到达D端时的速度大小为vD。下列结论正确的是()A.t1=t2B.t1vD13.答案BD图甲中小球在筒内受重力和水平指向圆筒竖直中心轴的筒壁的弹力,贴着筒壁做螺线运动,可视为水平面内的匀速圆周运动与竖直方向上的自由落体运动的合运动,由竖直方向上的自由落体运动,可求得小球由A运动到B的时间t1=2hg。图乙中小钢环沿钢丝运动,受重力和方向斜向前上方的弹力,可等效为小环沿光滑斜面下滑,如图所示,则小环由C运
29、动到D的时间t2=2sa,其中a=g sin ,s=42Rcosh,故t1t2,或者t2=2hay,ay=mg-Nymg,故t1vD,选项C错误,D正确。14.(2019山东烟台期末)如图所示,物体A、B用细线跨过无摩擦的定滑轮连在一起,A物体受水平向右的力F的作用,此时B匀速下降,A水平向左运动,可知()A.物体A做匀速运动B.物体A做加速运动C.物体A所受摩擦力逐渐增大D.物体A所受摩擦力不变14.答案B设系在A上的细线与水平方向间的夹角为,物体B的速度为vB,大小不变,细线的拉力为FT,则物体A的速度vA=vBcos,FfA=(mAg-FT sin ),因物体B匀速下降,则增大,故vA增大,物体A做加速运动,A项错误,B项正确;物体B匀速下降,则FT=mBg不变,故随增大,FfA减小,C、D项均错误。
