1、课时达标训练(二) 平面向量A组1(2018南京学情调研)设向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b.若ac，则实数x_解析：因为a(1，4)，b(1，x)，ca3b(2，43x)又ac，所以43x80，解得x4.答案：42(2018无锡期末)已知向量a(2，1)，b(1，1)，若ab与mab垂直，则m的值为_解析：因为a(2，1)，b(1，1)，所以ab(1，2)，mab(2m1，m1)，因为ab与mab垂直，所以(ab)(mab)0，即2m12(m1)0，解得m.答案：3(2019南京四校联考)设a，b是单位向量，且ab，向量c满足cacb2，则|c|_解析：法一：由题意可设cab(，R)
2、，则ca2，cb2，所以，所以|c|ab| .法二：由题意不妨令a(1，0)，b.设c(x，y)，则cax2，cbxy2，所以c(2，)，所以|c|.答案：4已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为_解析：a(ab)，a(ab)a2ab1cosa，b0，cosa，b，a，b.答案：5(2019南京三模)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60的两个单位向量若向量c满足c5，则|c|的最小值为_解析：设向量c与a2b的夹角为.由c(a2b)5，得|c|a2b|cos 5，因为|a2b|，所以|c| cos 5，则|c|.因为1cos 0，所以当cos
3、1时，|c|取得最小值，为.答案：6.如图，在ABC中，已知BAC，AB2，AC3，2，3，则|_解析：()，而()，故，从而| .答案：7已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，则a与2ab夹角的余弦值为_解析：法一：因为非零向量a，b满足|a|b|ab|，所以a2b2a22abb2，aba2b2，所以a(2ab)2a2aba2，|2ab|a|，所以cosa，2ab.法二：因为非零向量a，b满足|a|b|ab|，所以a，b，所以a(2ab)2a2ab2a2|a|b|cosa2，|2ab|a|.所以cosa，2ab.答案：8在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，P是对角线BD上的任意一点，则
4、_解析：如图所示，由条件知ABC为正三角形，ACBP，所以()cos 60222.答案：29已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边上BC，DC上，t，m，若1，则tm_解析：因为tt；mm，所以(t)(m)22tm4t4m1；2(1t)(1m)22m2t2tm，联立解得tm.答案：10(2019常州期末)平面内不共线的三点O，A，B，满足|1，|2，点C为线段AB的中点，AOB的平分线交线段AB于D，若|，则|_解析：法一：由点C为线段AB的中点，得，又|，|1，|2，所以，得cosAOB，AOB.由SAODSBODSAOB得|sin|sin |sin，得|.答案：11.如
5、图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5.若7，则的值是_解析：因为()()()()OC2OD2，同理：AO2OD27，所以OD216，所以OC2OD29.答案：912已知A(0，1)，B(0，1)，C(1，0)，动点P满足2|2，则|的最大值为_解析：设动点P(x，y)，因为A(0，1)，B(0，1)，C(1，0)，2|2，所以(x，y1)(x，y1)2(x1)2y2，即(x2)2y21.因为|2，所以|表示圆(x2)2y21上的点到原点距离的2倍，所以|的最大值为2(21)6.答案：613(2019苏北三市一模)在ABC中，AB2，AC3，BAC60，P为ABC所在平面
6、内一点，满足2，则的值为_. 解析：法一：因为2，所以()2，得，所以()232cos 601.法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，因为AB2，AC3，BAC60，所以A(0，0)，B(2，0)，C.设P(x，y)，由2，得解得即P，所以(2，0)1.答案：114(2019盐城三模)已知圆O的半径为2，A，B，C为该圆上的三点，且AB2，0，则()的取值范围是_解析：建立平面直角坐标系如图所示，其中BA与x轴平行，且位于x轴上方，点B在点A左侧，则结合题意得B(1，)，A(1，)，设C(2cos ，2sin )()，则(3，)，(2，0)(2cos 1，2sin )2(2c
7、os 1)0，因为C与A，B都不重合，所以或，所以()(2cos ，2sin )(3，)6cos 2 sin 4 cos(6，0)(0，4 答案：(6，0)(0，4 B组力争难度小题1在ABC中，若2，则的值为_解析：由2，得2bcacab，化简可得ac.由正弦定理得，.答案：2(2019无锡期末)已知点P在圆M：(xa)2(ya2)21上，A，B为圆C：x2(y4)24上两动点，且AB2，则的最小值为_解析：取AB的中点D，因为AB2，圆C的半径R2，所以CD1，所以()()23.C(0，4)，M(a，a2)，易知当C，D，P，M在一条直线上时，PD最小，此时，PDCMCDPM2232(当且
8、仅当a3时等号成立)，所以231912，当a3时取到最小值1912.答案：19123在直角坐标系xOy中，已知三点A(a，1)，B(2，b)，C(3，4)，若，则a2b2的最小值为_解析：因为0，所以0，从而有(a2，1b)(3，4)0，即3a4b2.则(a，b)可视为直线l：3x4y2上的动点，设其为P，则为坐标原点O到P的距离，故|OP|mind(O，l)，故(a2b2)min.答案：4(2019苏锡常镇四市一模)在ABC中，已知AB2，AC1，BAC90，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则的最大值为_解析：法一：如图，以A为原点，AC所在的直线为x轴
9、，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，那么B(0，2)，C(1，0)，易知点E的坐标为，可设直线PQ的方程为yk(k0)，所以有P，Q.则2 ，当且仅当k1时取等号，故的最大值为.法二：如图，以A为原点，AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，那么B(2，0)，C(0，1)因为D，E分别为BC，AD的中点，所以D，E，设P(a，0)，Q(0，b)，a0，b0，则直线PQ的方程为1，因为直线PQ过点E，所以1.易知(2，b)，(a，1)，所以2ab(2ab)，当且仅当，即ab时取等号，故的最大值为.法三：设，0，0，则()，因为E，P，Q三点共线，所以1，所以()()(4)(4)，当且仅当，时取等号，故的最大值为.答案：5设O是ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b22bc20，则的取值范围是_解析：由O是ABC的三边中垂线的交点，知O是三角形外接圆的圆心，如图所示连接AO并延长交外接圆于点D，则AD是O的直径，连接BD，CD，则ABDACD90，cosBAD，cosCAD，所以()|cosCAD|cosBAD(b2c2)(b22bb2).因为c22bb20，所以0b2，设f(b)(0b2)，则当b时，f(b)取最小值，又2，所以f(b)，所以的取值范围是.答案：
