1、考点规范练 49 椭圆 考点规范练 A 册第 33 页 基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方程为()A.2169+2144=1B.2144+2169=1 C.2169+225=1D.2144+225=1答案:A解析:由题意知 a=13,c=5,则 b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在 x 轴上,椭圆方程为2169+2144=1.2.(2019 北京,理 4)已知椭圆22+22=1(ab0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b答案:B解析:椭圆的离心率 e=12,c2=a2-b2
2、,化简得 3a2=4b2,故选 B.3.(2019 河南洛阳期中)“-3m 0,+3 0,5-+3,解得-3m5 且 m1,因此,“-3m|MN|,由椭圆定义知,动点 P 的轨迹是椭圆.6.已知 F1,F2是椭圆22+22=1(ab0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点 P 使得 PF1PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.55,1)B.22,1)C.(0,55 D.(0,22 答案:B解析:F1,F2是椭圆22+22=1(ab0)的左、右两个焦点,离心率 0e1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点 P(x,y),由 PF1PF2,得(x-c,y)(x+c,y)=0,
3、化简得 x2+y2=c2,联立方程组2+2=2,22+22=1,整理,得 x2=(2c2-a2)22 0,解得 e 22,又 0e1,22 eb0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为22,F2与椭圆上点的连线中最短线段的长为2-1.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)已知椭圆 E 上存在一点 P,使得直线 PF1,PF2分别交椭圆 E 于点 A,B,若1=21,2=2(0),求直线 PB 的斜率.解:(1)由题意得 e=22,a-c=2-1,由解得 a=2,c=1,b=2-2=1.椭圆 E 的标准方程是22+y2=1.(2)设点 P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线
4、 lPA的方程为 x=my-1.由=-1,2+22=2,消去 x,得(m2+2)y2-2my-1=0,则 y0y1=-12+2.1=00+1,m=0+10.|1|1|=-01=-0-1(2+2)0=(m2+2)02=(0+1)202+2 02=(x0+1)2+202=(x0+1)2+2-02=3+2x0.3+2x0=2,解得 x0=-12,P(-12,144).kPB=2=144-12-1=146.故直线 PB 的斜率为146.9.已知椭圆 M:22+22=1(ab0)的离心率为63,焦距为 22.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M有两个不同的交点 A,B.(1)求椭圆 M 的方程;(2)若
5、k=1,求|AB|的最大值;(3)设 P(-2,0),直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C,直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D,若 C,D 和点 Q(-74,14)共线,求 k.解:(1)由题意得2=2+2,=63,2=22,解得 a=3,b=1.所以椭圆 M 的方程为23+y2=1.(2)设直线 l 的方程为 y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由=+,23+2=1,得 4x2+6mx+3m2-3=0,所以 x1+x2=-32,x1x2=32-34.所以|AB|=(2-1)2+(2-1)2=2(2-1)2=2(1+2)2-412=12-322.当 m=0,即直线 l
6、 过原点时,|AB|最大,最大值为6.(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得12+312=3,22+322=3.直线 PA 的方程为 y=11+2(x+2).由=11+2(+2),2+32=3,得(x1+2)2+312x2+1212x+1212-3(x1+2)2=0.设 C(xC,yC),所以 xC+x1=-1212(1+2)2+312=412-1241+7.所以 xC=412-1241+7-x1=-12-7141+7.所以 yC=11+2(xC+2)=141+7.设 D(xD,yD),同理得 xD=-12-7242+7,yD=242+7.记直线 CQ,DQ 的斜率分别为 kC
7、Q,kDQ,则 kCQ-kDQ=141+7-14-12-7141+7+74242+7-14-12-7242+7+74=4(y1-y2-x1+x2).因为 C,D,Q 三点共线,所以 kCQ-kDQ=0.故 y1-y2=x1-x2.所以直线 l 的斜率 k=1-21-2=1.能力提升10.(2019 全国,理 10)已知椭圆 C 的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),过 F2的直线与 C 交于 A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则 C 的方程为()A.22+y2=1B.23+22=1C.24+23=1D.25+24=1答案:B解析:如图,由已知可设|F2B|=n
8、,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得-=2,+=2,解得=32,=2.|AF1|=a,|AF2|=a.点 A 为(0,-b).2=1=b.过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为点 P.由题意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12.又2=|2|=|12=b,|BP|=12b.点 B(32,12).把点 B 坐标代入椭圆方程22+22=1 中,得 a2=3.又 c=1,故 b2=2.所以椭圆方程为
9、23+22=1.11.椭圆22+22=1(ab0)的焦点为 F1,F2,若椭圆上存在满足1 2=22 的点 P,则椭圆的离心率的范围是 .答案:33,1)解析:椭圆的焦点为 F1,F2,椭圆上存在满足1 2=22 的点 P,|1|2|cos=22,4c2=1 2+2 2-2|1|2|cos,|1|+|2|=2a,可得1 2+2 2+2|1|2|=4a2,4c2=4a2-2|1|2|-b2.2|1|2|=3a2-3c22(|1|+|2|2)2,当且仅当|1|=|2|时,等号成立.可得22 13,解得 e 33.又 0eb0,x0)和圆 N:(x-2)2+y2=5 在 y 轴右侧的部分连接而成,A
10、,B 是 M 与 N 的公共点,点 P,Q(均异于点 A,B)分别是 M,N 上的动点.(1)若|PQ|的最大值为 4+5,求半椭圆 M 的方程;(2)若直线 PQ 过点 A,且+=0,求半椭圆 M 的离心率.解:(1)A(0,1),B(0,-1),故 b=1,|PQ|的最大值为 4+5=a+2+5,解得 a=2.半椭圆 M 的方程为24+y2=1(-2x0).(2)设直线 PQ 方程为 y=kx+1,与圆 N 的方程联立可得(k2+1)x2+(2k-4)x=0,xA+xQ=4-21+2.xA=0,Q(4-21+2,-2+4+11+2).+=0,=(xQ,yQ-1),=(xP,yP-1),xP
11、+xQ=0,yP+yQ=2.xP=2-41+2,yP=32-4+11+2.,=xPxQ+(yP+1)(yQ+1)=-(2-4)2(1+2)2+(-2+4+1)(32-4+1)(2+1)2+2+1=(k2+1)(16k-12)=0,解得 k=34,P(-85,-15).代入椭圆方程可得64252+125=1,解得 a2=83.半椭圆 M 的离心率 e=1-22=104.高考预测13.椭圆 E:22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2作垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 E 在第一象限交于点 P,若|PF1|=5,且 3a=b2.(1)求椭圆 E 的方程;(2)A,B 是椭圆
12、 C 上位于直线 l 两侧的两点.若直线 AB 过点(1,-1),且APF2=BPF2,求直线 AB 的方程.解:(1)由题意可得|PF2|=2=3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得 a=4,所以 b2=12,故椭圆 E 的方程为216+212=1.(2)易知点 P 的坐标为(2,3).因为APF2=BPF2,所以直线 PA,PB 的斜率之和为 0.设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PB 的斜率为-k,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 PA 的方程为 y-3=k(x-2),由-3=(-2),216+212=1可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,所以 x1+2=8(2-3)3+42,同理直线 PB 的方程为 y-3=-k(x-2),可得 x2+2=-8(-2-3)3+42=8(2+3)3+42,所以 x1+x2=162-123+42,x1-x2=-483+42,kAB=1-21-2=(1-2)+3+(2-2)-31-2=(1+2)-41-2=12,所以满足条件的直线 AB 的方程为 y+1=12(x-1),即为 x-2y-3=0.
