1、 上海中学高二期末数学试卷2021.01一. 填空题1. 若复数(,是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为 2. 函数(,是虚数单位)的值域可用集合表示为 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是 4. 已知双曲线(,)的一条渐近线方程为,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为 5. 若点是抛物线()的一条弦的中点,且弦的斜率为2,则 6. 把参数方程(为参数,)化成普通方程是 7. 已知是抛物线的焦点,、是该抛物线上的两点,则的中点到轴的距离是 8. 已知复数满足条件,那么的最大值为 9. 若曲线与直线没有公共点,则实数、分别应满足的条件是 10. 已知、为双曲线的左、右焦点,
2、点在上,则 11. 已知双曲线(,)的右焦点为,过点向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为,交另一条渐近线于点,若,则双曲线的渐近线方程为 12. 直线与抛物线交于、两点,为坐标原点,直线、的斜率之积为,以线段的中点为圆心,为半径的圆与直线交于、两点,则的最小值为 二. 选择题1. 已知椭圆()与双曲线有相同的焦点,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 2. 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、,则等于( )A. 3 B. 4 C. D. 3. 已知圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于、两点,点在、之间,过作直线的平行线交直线于点,当变化时的轨迹是( )A. 椭圆的一部分 B. 双
3、曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,如星形线(如图),若让一个半径为的圆在一个半径为的圆内部,沿着圆的圆周滚动,小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线,其方程为,给出下列四个结论,正确的有( )(1)星形线的参数方程为:(为参数);(2)若,则星形线及其内部包含33个整点;(即横、纵坐标均为整数的点)(3)曲线在星形线的内部(包含边界);(4)设星形线围成的面积为,则;A. (1)(3)(4) B.(1)(2)(3)(4) C. (2)(3) D.(1)(2)(3)三. 解答题1. 已知复数,求实数、,使得.2. 已知关于的复系数一元
4、二次方程()有实数根,求复数的最小值.3. 已知直线()与双曲线,则为何值时,直线与双曲线有一个公共点?4. 已知关于的一元二次方程().(1)当方程有实根时,求点的轨迹方程;(2)求方程的实根的取值范围.5. 已知抛物线()过点.(1)求抛物线的焦点到准线的距离;(2)已知点,过点的直线交抛物线于点、,直线,分别交直线于点、,求的值.6. 已知椭圆,点为椭圆外一点.(1)过原点作直线交椭圆于、两点,求直线与直线的斜率之积的范围;(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时,线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上.参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 5. 2 6. 7. 8. 49. , 10. 4 11. 12. 10 二. 选择题1. D 2. C 3. B 4. D三. 解答题1. ,或,.2. .3. 或.4.(1)点的轨迹方程为;(2).5.(1),4;(2)1.6.(1);(2)证明略,点总在直线上.