1、第六章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)=ln x+x3,则limx0f(1+2x)-f(1)x=()A.1B.2C.4D.82.已知函数f(x)=2x+3f(0)ex,则f(1)=()A.32eB.3-2eC.2-3eD.2+3e3.曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)4.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点有()A.0个B.1个C.2个D.无数个5.已知函数
2、f(x)=ln x-ax-2在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为()A.12,1B.12,1C.13,12D.12,236.已知x=2是f(x)=2ln x+ax2-3x的极值点,则f(x)在13,3上的最大值是()A.2ln 3-92B.-52C.-2ln 3-1718D.2ln 2-47.已知定义在R上的函数f(x)的导数为f(x),若满足f(x)+xf(x)1,则下列结论:f(-1)0;f(1)f(-1);2f(1)f12.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.18.定义在(0,+)上的函数f(x)满足xf(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)(a+1)x+1有解,
3、则正实数a的取值范围是()A.(0,eB.(0,e)C.0,1eD.0,1e二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列结论不正确的是()A.若y=cos1x,则y=-1xsin1xB.若y=sin x2,则y=2xcos x2C.若y=cos 5x,则y=-sin 5xD.若y=12xsin 2x,则y=xsin 2x10.如果函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则下述结论正确的是()A.函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增B.当x=-12时,函数y=f(x)有极大
4、值C.函数y=f(x)在区间(1,2)内单调递增D.当x=2时,函数y=f(x)有极大值11.已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调12.若直线l与曲线C满足下列两个条件:直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是()A.直线l:y1=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=x3B.直线l:y1=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y2=ln xC.直线l:y1=x在点P(
5、0,0)处“切过”曲线C:y2=sin xD.直线l:y1=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=tan x三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f(x)=aln x+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=,b=.14.某产品的销售收入y1(单位:万元)与产量x(单位:千台)的函数关系是y1=17x2,生产成本y2(单位:万元)与产量x(单位:千台)的函数关系是y2=2x3-x2,已知x0,为使利润最大,应生产千台.15.根据函数f(x)=sin 2x在原点(0,0)处的切线方程,请你写出与函数f(x)=sin 2x在原点处具有相同切线的一个函数:.16.已
6、知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x2,+)时,f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=12ex(cos x+sin x)0x2.(1)求函数f(x)的导数f(x);(2)求函数f(x)的值域.18.(12分)设函数f(x)=aln x+12x+32x+1,其中aR,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.19.(12分)已知函数f(x)=x+aln x+1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在1,
7、e上的最小值为-a+1,求实数a的值.20.(12分)已知函数f(x)=ln x-4ax,g(x)=xf(x).(1)若a=18,求g(x)的单调区间;(2)若a0,求证:f(x)14a-2.21.(12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.22.(12分)设
8、函数f(x)=ln x-1-1x.(1)求证:当x1时,f(x)0;(2)若关于x的不等式lnxxa(x-1)对任意x(1,+)恒成立,求实数a的取值范围.参考答案第六章测评1.D由题意f(x)=1x+3x2,所以f(1)=1+3=4,所以limx0f(1+2x)-f(1)x=2limx0f(1+2x)-f(1)2x=2f(1)=8.故选D.2.C由题意f(x)=2+3f(0)ex,所以f(0)=2+3f(0),所以f(0)=-1,所以f(x)=2-3ex,所以f(1)=2-3e.故选C.3.C依题意令f(x)=3x2+1=4,解得x=1,f(1)=0,f(-1)=-4,故点P0的坐标为(1,
9、0)或(-1,-4),故选C.4.A函数定义域为(0,+),且f(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x,令6x2-2x+1=0,则=-200恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.5.B由f(x)=1x-a=1-axx可知,当a0时函数f(x)在(1,2)上单调递增,不合题意;当a0时,函数f(x)的极值点为x=1a,若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,必有11a2,解得12a1.故选B.6.A由题意f(x)=2x+2ax-3且f(2)=0,解得a=12,则f(x)=2x+x-3=x2-3x+2x=(x-1)(x-2)x.当1x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0.在区间13
10、,1,(2,3上,f(x)单调递增;在区间(1,2)上,f(x)单调递减.f(3)=2ln3-92f(1)=-52,f(x)在13,3上的最大值是2ln3-92.故选A.7.B令h(x)=xf(x)-x,则h(x)=xf(x)+f(x)-1.因为函数f(x)满足f(x)+xf(x)1,所以h(x)0,所以h(x)在R上是增函数.因为h(-1)=-f(-1)+110,故正确.因为h(1)=f(1)-1h(0)=0,所以f(1)1,故错误.因为h(-2)=-2f(-2)+2f(-1)+1f(-1),故正确.因为h(1)=f(1)-1h12=12f12-12,所以2f(1)f12+1f12,故正确.
11、故选B.8.C因为f(x)=1+1x,故f(x)=x+lnx+C,其中C为常数.因f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+lnx+1.不等式f(x)(a+1)x+1有解可化为x+lnx+1(a+1)x+1,即lnxxa在(0,+)上有解.令g(x)=lnxx,则g(x)=1-lnxx2,当x(0,e)时,g(x)0,g(x)在(0,e)上单调递增;当x(e,+)时,g(x)0,g(x)在(e,+)上单调递减.故g(x)max=g(e)=1e,所以0a1e,故选C.9.ACD对于A,y=cos1x,则y=-1x2sin1x,故错误;对于B,y=sinx2,则y=2xcosx2,故正确;对于C,
12、y=cos5x,则y=-5sin5x,故错误;对于D,y=12xsin2x,则y=12sin2x+xcos2x,故错误.故选ACD.10.CD当x(-,-2)时,函数f(x)单调递减;当x(-2,2)时,函数f(x)单调递增;当x(2,4)时,函数f(x)单调递减;当x(4,+)时,函数f(x)单调递增.因此当x=-2时,函数f(x)取极小值,当x=2时,函数f(x)取极大值;当x=4时,函数f(x)取极小值.结合选项易知,A,B错误,C,D正确,故选CD.11.BCf(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+),f(x)=3x2-3x=3x(x3-1).令f(x)=3x(x3-1)=0,得
13、x=1.当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的极小值也是最小值,最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f(1)=0,得y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程y-0=0(x-1),即y=0,故B正确.故选BC.12.ACDA项,因为y2=3x2,当x=0时,y2=0,所以l:y1=0是曲线C:y2=x3在点P(0,0)处的切线.当x0时,y20时,y20.所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.B项,y2=1x,当x=1时,y2=1,在P(
14、1,0)处的切线为l:y1=x-1.令h(x)=x-1-lnx,则h(x)=1-1x=x-1x(x0),当x1时,h(x)0;当0x1时,h(x)0时,曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外),结论错误.C项,y2=cosx,当x=0时,y2=1,在P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正弦函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.D项,y2=1cos2x,当x=0时,y2=1,在P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正切函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.故选ACD.13.-2-12f(x)的定义域为(0,+).f(x)=ax+2bx+3=2bx2+3x+
15、ax.因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,所以x1=1,x2=2是方程f(x)=2bx2+3x+ax=0的两个根,即为方程2bx2+3x+a=0的两根.所以由根与系数的关系知-32b=1+2,a2b=12.解得a=-2,b=-12.14.6由题意,利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x0).y=36x-6x2,由y=36x-6x2=6x(6-x)=0,得x=6(x0),当x(0,6)时,y0,当x(6,+)时,y0),f(x)=-1x12x2+32=3x2-2x-12x2=(3x+1)(x-1)2x2,令f(x)=0,解得x1=1,x2=-13(因x2=
16、-13不在定义域内,舍去),当x(0,1)时,f(x)0,故f(x)在(1,+)上单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.19.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1+ax=x+ax.当a0时,f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增,无极值;当a0,解得x-a,令f(x)0,解得0x-a,所以f(x)的单调递增区间为(-a,+),单调递减区间为(0,-a),此时f(x)有极小值f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.综上,当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间,无极值;当a0时,f(x)的单调递增区间为(-a,+)
17、,单调递减区间为(0,-a),极小值为f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.(2)f(x)=1+ax=x+ax,x1,e,由f(x)=0得x=-a.若a-1,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上单调递增,f(x)min=f(1)=-a+1,即2=-a+1,则a=-1,符合条件;若a-e,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上单调递减,f(x)min=f(e)=-a+1,即e+a+1=-a+1,则a=-e2,不符合条件;若-ea-1,当1x-a时,f(x)0,f(x)在(1,-a)上单调递减,当-ax0,f(x)在(-a,e)上单调
18、递增,f(x)min=f(-a)=-a+1,即-a+aln(-a)+1=-a+1,则a=-1,不符合条件.综上所述,a=-1.20.(1)解由a=18,得g(x)=xlnx-12x2(x0),则g(x)=lnx-x+1.令h(x)=lnx-x+1,则h(x)=1-xx.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,h(x)max=h(1)=0.从而当x0时,g(x)0恒成立,故g(x)的单调递减区间为(0,+),无单调递增区间.(2)证明f(x)=1x-4a=1-4axx.由a0,令f(x)=0,得x=14a,故f(x)在0,14a上单调递增,在14a,+上单调递减.所以f(x)m
19、ax=f14a=ln14a-1.只需证明ln14a-114a-2.令t=14a0,即证lnt-t+10(*),由(1)易知(*)式成立,故原不等式成立.21.解(1)蓄水池的侧面的建造成本为200rh元,底面的建造成本为160r2元,蓄水池的总建造成本为(200rh+160r2)元,即200rh+160r2=12000,h=15r(300-4r2),V(r)=r2h=r215r(300-4r2)=5(300r-4r3),又由r0,h0可得0r53,故函数V(r)的定义域为0,53.(2)由(1)中V(r)=5(300r-4r3),0r53,可得V(r)=5(300-12r2)(0r0,函数V(r)单调递增,当r(5,53)时,V(r)1时,f(x)0.f(x)在(1,+)内单调递增,f(x)f(1)=0,得证.(2)解设h(x)=lnxx-a(x-1),x(1,+),则h(x)=1-lnxx2-a=1-lnx-ax2x2,当a1时,1-ax20,h(x)0,h(x)在x(1,+)内单调递减,h(x)h(1)=0恒成立,即不等式lnxx0,故不合题意;当0a1-1x对任意x(1,+)恒成立;h(x)=lnxx-a(x-1)1-1xx-a(x-1)=x-1x2-a(x-1)=x-1x2(1-ax2),当x1,1a时,h(x)0,故不合题意.综上,实数a的取值范围为1,+).
