1、7.6推理与证明【考试要求】1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.【知识梳理】1合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征
2、的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断3直接证明(1)综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)思维过程：由因导果(2)分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件
3、，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法框图表示：(其中Q表示要证明的结论)思维过程：执果索因4间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使
4、结论成立的充要条件()(4)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()【教材改编题】1已知在数列an中，a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1 Ban4n3Cann2 Dan3n1答案C解析a2a134，a3a259，a4a3716，a112，a222，a332，a442，猜想ann2.2给出下列命题：“正方形的对角线相等；矩形的对角线相等，正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是()A BC D以上都不对答案C解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论所以.3用反证法证明命题：“设a
5、，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要作的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案A解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根.题型一合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点第n个图形由正n2边形扩展而来，其中nN*，则第n个图形的顶点个数是()A(2n1)(2n2) B3(2n2)C2n(5n1) D(n2)(n3)答案D解析由已知中的图形可以得到：当n1时，图形的顶点个数为1234，当n2时，图形的顶点个数为20
6、45，当n3时，图形的顶点个数为3056，当n4时，图形的顶点个数为4267，由此可以推断，第n个图形的顶点个数为(n2)(n3)命题点2类比推理例2(2022铜仁质检)在ABC中，BCAC，ACa，BCb，则ABC的外接圆的半径r，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PAa，PBb，PCc，则四面体PABC的外接球的半径R_.答案解析可以类比得到：在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PAa，PBb，PCc，四面体PABC的外接球的半径R.下面进行证明：可将图形补成以PA，PB，PC为邻边的长方体，则四面体PABC的外接球即为长方体的外接球，所
7、以半径R.命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：若an是等比数列，则anan1是等比数列(大前提)，若bn(1)n，则数列bn是等比数列(小前提)，所以数列bnbn1是等比数列(结论)，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确答案B解析大前提错误：当an(1)n时，anan10，此时anan1不是等比数列；小前提正确：bn(1)n，1(n2，nN*)为常数，数列bn是首项为1，公比为1的等比数列；结论错误：bnbn1(1)n(1)n10，故数列bnbn1不是等比数列【备选】1观察下列各式：7249,73343,742 401，则72 023
8、的末两位数字为()A01 B43 C07 D49答案B解析7249,73343,742 401,7516 807,76117 649,78823 543，7n(n2，nN*)的末两位数字具备周期性，且周期为4，2 02345053，72 023和73的末两位数字相同，故72 023的末两位数字为43.2在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19且nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b111，则有()Ab1b2bnb1b2b19n(n19且nN*)Bb1b2bnb1b2b21n(n21且nN*)Cb1b2bnb1b2b19n(n19且nN*)Db1b2
9、bnb1b2b21n(n21且nN*)答案B解析在等差数列an中，若stpq(s，t，p，qN*)，则asatapaq，若am0，则an1an2a2m2na2m1n0，所以a1a2ana1a2a2m1n成立，当m10时，a1a2ana1a2a19n(n19且nN*)成立，在等比数列bn中，若stpq(s，t，p，qN*)，则bsbtbpbq，若bm1，则bn1bn2b2m2nb2m1n1，所以b1b2bnb1b2b2m1n成立，当m11时，b1b2bnb1b2b21n(n0且a1)的才是对数函数故选C.思维升华(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左
10、右两侧的规律及符号与式子有关的推理观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等跟踪训练1(1)(2022南昌模拟)已知x0，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()An2 Bnn C2n D22n2答案B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为111；当分母的指数为2时，分子为224；当分母的指数为3时，分子为3327；据此归纳可得xn1中，a的值为nn.(2)类比是学习探索中
11、一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“”改为“”，“”改为“”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立在等差数列an中有ankank2an(nk)，借助类比，在等比数列bn中有_答案bnkbnkb(nk)解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于ankank改写为bnkbnk；将右式正整数2改为指数，则相当于2an改写为b，等比数列bn中有bnkbnkb(nk)(3)(2022银川模拟)一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同赵说：“我选的是A.”钱说：“我选的是B，
12、C，D之一”孙说：“我选的是C.”李说：“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是_答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A，则孙和李之一选A，出现两人说谎钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为(A，C，B，D)或(A，D，C，B)，所以说假话的人可能是孙、李题型二直接证明与间接证明命题点1综合法例4设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca
13、)1，即abbcca，当且仅当“abc”时等号成立(2)因为b2a，c2b，a2c，当且仅当“a2b2c2”时等号成立，故(abc)2(abc)，则abc.所以1.命题点2分析法例5用分析法证明：当x0，y0时，.证明要证不等式成立，只需证成立，即证()2()2成立，即证x2y2x2y成立，即证0成立，因为x0，y0，所以0，所以原不等式成立命题点3反证法例6已知非零实数a，b，c两两不相等证明：三个一元二次方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0不可能都只有一个实根证明假设三个方程都只有一个实根，则，得a2b2c2abbcca0，化为(ab)2(bc)2(ca)20.于是ab
14、c，这与已知条件相矛盾因此，所给三个方程不可能都只有一个实根【备选】(2022贵州质检)请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明：(1)如果a0，b0，则lg；(2)23.解(1)方法一(综合法)因为a0，b0，所以，所以lglg.因为lglg(ab)(lg alg b)，所以lg.方法二(分析法)要证lg，即证lglg(ab)lg，即证，由a0，b0，上式显然成立，则原不等式成立(2)方法一(分析法)要证23，即证23，即证(23)2()2.即证1712172，即证122，即证6.因为(6)272()270，所以6成立由上述分析可知23成立方法二(综合法)由2，且3，由2，3，可得
15、2，即23成立思维升华(1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论跟踪训练2(1)已知a0，b0，求证：；(2)已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0.证明(1)a0，b0，要证，只要证(ab)24ab，只要证(ab)24ab0，即证a22abb20，而a22abb2(ab)20恒成立，故成立(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a0，下面分a0和a0矛盾，所以a0不可能，如果a0可得，bc0，所以bca0，于是abbccaa(bc)
16、bc0相矛盾，因此，a0，同理可证b0，c0，所以原命题成立课时精练1指数函数都是增函数(大前提)，函数yx是指数函数(小前提)，所以函数yx是增函数(结论)上述推理错误的原因是()A小前提不正确 B大前提不正确C推理形式不正确 D大、小前提都不正确答案B解析大前提错误因为指数函数yax(a0，且a1)在a1时是增函数，而在0a2；(2)设a，b，c都是正数，求证：abc.证明(1)要证2，只需证明()2(2)2，即证明22，也就是证明4240，式子显然成立，故原不等式成立(2)22222c2b2a，所以abc，当且仅当abc时，等号成立10若x，y都是正实数，且xy2，求证：2与2中至少有一个成立解假设2和0且y0，1x2y,1y2x.两式相加得2xy2x2y，即xy2.此与已知条件xy2相矛盾，2和1且2，则下列结论成立的是()Aa，b，c同号Bb，c同号，a与它们异号Ca，c同号，b与它们异号Db，c同号，a与b，c的符号关系不确定答案A解析由1知与同号，若0且0，不等式2显然成立，若0且0，0，22，即0且0，即a，b，c同号16已知，为锐角，求证：9.解要证9，只需证9，考虑到sin221，可知，因而要证应先证9，即证9，又59，所以原不等式成立
