1、课时作业24 空间向量与平行关系时间：45 分钟基础巩固类一、选择题1若 n(2，3,1)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量的是()A(0，3,1)B(2,0,1)C(2，3,1)D(2,3，1)D解析：问题即求与 n 共线的一个向量，由于 n(2，3,1)(2,3，1)，所以选 D.2若 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为()A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3)D(3,2,1)A解析：由于AB(2,4,6)，且 l 的方向向量与AB共线，易知A 正确故选 A.3已知直线 l1 的方向向量 a(2,4，x)，直线 l2
2、 的方向向量 b(2，y,2)，若 ab，则 xy 的值是()A3 或 1 B3 或1C3 D6D解析：依题意得22y42x，x2，y4，xy6.4已知平面 的法向量是(2,3，1)，平面 的法向量是(4，2)，若，则 的值是()A103B6C6 D.103B解析：，的法向量与 的法向量也互相平行24312.6.5若空间中 A(1,2,3)，B(1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线 AB 与 CD 的关系为()A平行B垂直C相交但不垂直D无法确定A解析：AB(2，2,2)，CD(1,1，1)，AB2CD.ABCD.ABCD.6如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1
3、中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面 DCC1D1；A1M平面 D1PQB1.以上正确的个数为()A1 个 B2 个C3 个 D4 个C解析：A1M A1A AM A1A 12AB，D1P D1D DP A1A 12AB，A1M D1P，从而 A1MD1P.正确7若 a(x,2y1，14)是平面 的一个法向量，且 b(1，2,1)，c(3，12，2)与平面 都平行，则向量 a 等于()A(2752，5326，14)B(952，5326，14)C(952，2752，14)D(952，126，14)D解析：由题
4、意，知 ab0，ac0，即x4y940，3xy0，解得x 952，y2752.所以 a(952，126，14)8已知 A(0，y,3)，B(1，2，z)，若直线 l 的方向向量 v(2,1,3)与直线 AB 的方向向量平行，则 yz 等于()A3 B0C1 D3B解析：由题意，得AB(1，2y，z3)，则12 2y1z33，解得 y32，z32，所以 yz0，故选 B.二、填空题9已知直线 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 的法向量为(1，12，2)，且 l，则 m.8解析：l，l 的方向向量与 的法向量垂直(2，m,1)(1，12，2)212m20.解得 m8.10设平面 的一个法向量为
5、(3,2，1)，平面 的一个法向量为(2，43，k)，若，则 k 等于.23解析：，(3,2，1)平行于(2，43，k)，32 2431k，k23.11若 A0，2，198，B1，1，58，C2，1，58 是平面 内三点，设平面 的法向量为 a(x，y，z)，则 xyz23(4)解析：由已知得，AB1，3，74，AC 2，1，74，由于 a 是平面 的一个法向量，aAB0，aAC 0，即x3y74z0，2xy74z0，解得x23y，z43y，xyz23yy43 y23(4)三、解答题12在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1D 的中点为 E，BD 的中点为 F，证明：CD1EF.证明：
6、如图所示，建立直角坐标系，Dxyz，设 AB1，则C(0,1,0)，D1(0,0,1)，CD1(0，1,1)，又A1(1,0,1)，D(0,0,0)，E(12，0，12)，又 F(12，12，0)，EF(0，12，12)CD1 2EF，CD1 EF，又CEF，故 CD1EF.13.如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G，H，M，N 分别是正方体六个表面的中心，求证：平面 EFG平面 HMN.证明：设正方体的棱长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)EF(0，1,1)，EG(1,0,1)，HM(
7、0,1，1)，HN(1,0，1)设 m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面 EFG 和平面 HMN 的法向量，由 mEF0，mEG 0，得y1z10，x1z10，令 x11，得 m(1，1，1)由nHM 0，nHN 0，得y2z20，x2z20.令 x21，得 n(1，1，1)于是有 mn，即 mn，故平面 EFG平面 HMN.能力提升类14若平面，的一个法向量分别为 m(16，13，1)，n(12，1,3)，则()ABC 与 相交但不垂直D 或 与 重合D解析：n3m，mn，或 与 重合15如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ABC90，PD平面
8、 ABCD，AD1，AB 3，BC4.(1)求证：BDPC；(2)设点 E 在棱 PC 上，PEPC，若 DE平面 PAB，求 的值解：如图所示，在平面 ABCD 内过点 D 作直线 DFAB，交 BC 于点 F，以 D 为坐标原点，DA、DF、DP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A(1,0,0)，B(1，3，0)，D(0,0,0)，C(3，3，0)(1)证明：设 PDa，则 P(0,0，a)，BD(1，3，0)，PC(3，3，a)，BD PC 330，BDPC.(2)由题意知，AB(0，3，0)，DP(0,0，a)，PA(1,0，a)，PC(3，3，a)，PEPC，PE(3，3，a)，DE DP PE(0,0，a)(3，3，a)(3，3，aa)设 n(x，y，z)为平面 PAB 的法向量，则ABn0，PAn0，即 3y0，xaz0.令 z1，得 xa，n(a,0,1)，DE平面 PAB，DE n0，3aaa0，即 a(14)0，a0，14.
