1、导数的综合应用(二)结 束 第四课时 导数的综合应用(二)利用导数研究存在性与任意性问题典例 设f(x)axxln x，g(x)x3x23(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t 12，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围导数的综合应用(二)结 束 解(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3xx23 由g(x)0，解得0 x23；由g(x)0，解得x0或x23又x0,2，所以g(x)在区间0，23 上单调递减
2、，在区间23，2 上单调递增，导数的综合应用(二)结 束 又g(0)3，g(2)1，故g(x)maxg(2)1，g(x)ming23 8527所以g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min1852711227 M，则满足条件的最大整数M4导数的综合应用(二)结 束 (2)对于任意的s，t12，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间12，2 上，函数f(x)ming(x)max由(1)可知在区间12，2 上，g(x)的最大值为g(2)1在区间12，2 上，f(x)axxln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，x12，2，导数的综合应用(二)结 束 则
3、h(x)12xln xx，易知h(x)在区间12，2 上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当12x1时，h(x)0所以函数h(x)xx2ln x在区间12，1 上单调递增，在区间1,2上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以实数a的取值范围是1，)导数的综合应用(二)结 束 方法点拨等价转化法求解双参数不等式双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法本例第(1)问是“存在性”问题，转化方法是：如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，则可转化为Mg(x1)g(x2)max，即求解使不等式Mg(x)maxg(x)min成立时的M的最大取值；第(2)问是“恒
4、成立”问题，转化方法是：如果对于任意的x1，x2 12，2，都有f(x1)g(x2)成立，则可转化为在区间 12，2 上，f(x)ming(x)max，求解得到实数a的取值范围导数的综合应用(二)结 束 对点演练已知函数f(x)ln xax1ax 1(aR)(1)当0a12时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)x22bx4当a14时，若对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围导数的综合应用(二)结 束 解：(1)因为f(x)ln xax1ax 1，所以f(x)1xaa1x2 ax2x1ax2，x(0，)，令f(x)0，可得两根分别为1，1a1，因为0
5、a12，所以1a110，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x1，1a1 时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1a1，时，f(x)0，函数f(x)单调递减导数的综合应用(二)结 束 (2)a140，12，1a13(0,2)，由(1)知，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)12对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)等价于g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值12，(*)又g(x)(xb)24b2，x1,2，导数的综合
6、应用(二)结 束 所以，当b1时，g(x)ming(1)52b0，此时与(*)矛盾；当1b2时，g(x)min4b20，同样与(*)矛盾；当b2时，g(x)ming(2)84b，且当b2时，84b0，解不等式84b12，可得b178，所以实数b的取值范围为178，导数的综合应用(二)结 束 典例(2017昆明两区七校调研)已知f(x)x2axln xe，g(x)x2e(1)若a1，判断是否存在x00，使得f(x0)0，并说明理由；(2)设h(x)f(x)g(x)，是否存在实数a，当x(0，e(e2718 28为自然常数)时，函数h(x)的最小值为3，并说明理由利用导数研究探究性问题导数的综合应
7、用(二)结 束 解(1)不存在x00，使得f(x0)0理由如下：当a1时，f(x)x2xln xe，x(0，)，f(x)2x11x2x2x1xx12x1xf(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值f(1)导数的综合应用(二)结 束 当x1时，函数f(x)有极小值f(x)极小值f(1)e，此极小值也是最小值，故不存在x00，使得f(x0)0(2)因为f(x)x2axln xe，g(x)x2e，所以h(x)f(x)g(x)axln x则h(x)a1x，假设存在实数a，使h(x)axln x(x(0，e)有最小值3，()当a0时，h(x)0，所以h(x)在
8、(0，e上单调递减，h(x)minh(e)ae13，a4e，不符合题意导数的综合应用(二)结 束 ()当a0时，当0a1e时，1ae，h(x)0在(0，e上恒成立，所以h(x)在(0，e上单调递减，h(x)minh(e)ae13，a4e，不符合题意当a1e时，01ae，当0 x1a时，h(x)0，h(x)在0，1a 上单调递减；当1axe时，h(x)0，h(x)在1a，e 上单调递增，所以h(x)minh1a 1ln a3，解得ae21e综上所述，存在ae2，使x(0，e时，h(x)有最小值3导数的综合应用(二)结 束 方法点拨解决探究性问题的注意事项探究问题，先假设存在，推证满足条件的结论，
9、若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采用另外的途径导数的综合应用(二)结 束 对点演练(2016广州五校联考)已知函数f(x)xaln x，其中a为实数(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)是否存在实数a，使得对任意x(0,1)(1，)，f(x)x 恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明导数的综合应用(二)结 束 解：(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)xln xx2xl
10、n x2，f(2)1ln 2，又f(2)0，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y 1ln 2(x2)(2)当0 x1时，ln x0，则xaln x xax xln x，令g(x)x xln x，则g(x)2 x2ln x2 x，再令h(x)2 x2ln x，导数的综合应用(二)结 束 则h(x)1x1x x1x0，故当0 x1时，h(x)0，所以h(x)在(0,1)上单调递减，所以当0 x1时，h(x)h(1)0，所以g(x)hx2 x0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)g(1)1，所以a1导数的综合应用(二)结 束 当x1时，ln x0，则xaln x x ax xln x由知当x1时，h(x)0，h(x)在(1，)上单调递增，当x1时，h(x)h(1)0，所以g(x)hx2 x0，所以g(x)在(1，)上单调递增，所以g(x)g(1)1，所以a1综合得：a1升级增分训练点击此处
