1、课时作业22 空间向量的正交分解及其坐标表示时间：45 分钟基础巩固类一、选择题1以下四个命题中正确的是()A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则 a，b，c 全不是零向量CABC 为直角三角形的充要条件是ABAC 0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底B解析：使用排除法因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，所以 A 不正确；ABC 为直角三角形并不一定有ABAC 0，可能是BABC 0，也可能是CA CB0，故 C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故 D 不正确2已知 i，j，k 是空间直角坐标系 Ox
2、yz 中 x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，且ABijk，则 B 点的坐标为()A(1,1，1)B(i，j，k)C(1，1，1)D不确定D解析：ABijk，只能确定AB的坐标为(1,1，1)，而 A 点坐标不确定，所以 B 点坐标也不确定故选 D.3正方体 ABCD-ABCD，O1，O2，O3分别是 AC，AB，AD的中点，以AO1，AO2，AO3 为基底，AC xAO1 yAO2 zAO3，则 x，y，z 的值是()Axyz1 Bxyz12Cxyz 22Dxyz2A解析：AC AB BC AB BB BC ABAA AD 12(AB AD)12(AB AA)12(AA AD)12AC
3、 12AB12AD AO1 AO2 AO3，对比AC xAO1 yAO2 zAO3 得xyz1.4若e1，e2，e3是空间的一个基底，又 ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dxaybzc，则 x，y，z 分别为()A.52，1，12B.52，1，12C52，1，12D.52，1，12A解析：xaybzcx(e1e2e3)y(e1e2e3)z(e1e2e3)(xyz)e1(xyz)e2(xyz)e3e12e23e3，由空间向量基本定理，得xyz1，xyz2，xyz3，x52，y1，z12.5点 M(1,3，4)在坐标平面 xOy、xOz、yOz 内的射影的坐标分
4、别是()A(1,3,0)、(1,0，4)、(0,3，4)B(0,3，4)、(1,0，4)、(0,3，4)C(1,3,0)、(1,3，4)、(0,3，4)D(0,0,0)、(1,0,0)、(0,3,0)A6若向量MA、MB、MC 的起点与终点 M、A、B、C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA、MB、MC 成为空间一组基底的关系是()A.OM 13OA 13OB 13OCB.MA MB MCC.OM OA OB OCD.MA 2MB MCC解析：A 中 M、A、B、C 共面，因1313131；B 中可能共面，MA MB MC，但可能MA MB MC；D 不对
5、，MA 2MB MC，四点共面，故选 C.7已知点 A 在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中 aij，bjk，cki，则点 A 在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10)B(10,12,14)C(14,12,10)D(4,3,2)A解析：OA 8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k.8已知正方体 OABC-OABC的棱长为 1，若以OA，OC，OO 为基底，则向量OB 的坐标是()A(1,1,1)B(1,0,1)C(1，1，1)D(1,0,1)A解析：由向量的线性运算知OB OA OC OO，所以OB1 的坐标是(1,1,1)二、填空题9设 a，b，c
6、 是三个不共面向量，现从ab，abc中选出一个使其与 a，b 构成空间的一个基底，则可以选择的向量为 (填写代号)解析：ab 与 a，b 共面，ab 与 a，b 不能构成空间的一个基底abc 与 a，b 不共面，abc 与 a，b 构成空间的一个基底10a，b，c为空间的一个基底，且存在实数 x，y，z 使得xaybzc0，则 x，y，z.0解析：若 x，y，z 中存在一个不为 0 的数，不妨设 x0，则 ayxbzxc，a，b，c 共面这与a，b，c是基底矛盾，故 xyz0.0011已知四面体 ABCD 中，ABa2c，CD 5a6b8c，对角线 AC，BD 的中点分别为 E，F，则EF.3
7、a3b5c解析：如图所示，取 BC 的中点 G，连接 EG，FG，则EFGF GE 12CD 12BA 12CD 12AB 12(5a6b8c)12(a2c)3a3b5c.三、解答题12如下图所示，M，N 分别是四面体 OABC 的边 OA，BC的中点，P，Q 是 MN 的三等分点，用向量OA，OB，OC 表示OP和OQ.解：OP OM MP 12OA 23MN 12OA 23(ON OM)12OA 23(ON 12OA)16OA 2312(OB OC)16OA 13OB 13OC；OQ OM MQ 12OA 13MN 12OA 13(ON OM)12OA 13(ON 12OA)13OA 13
8、12(OB OC)13OA 16OB 16OC.13如下图所示，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，O，O1 分别为底面 ABCD、底面 A1B1C1D1 的中心，AB6，AA14，M 为B1B 的中点，N 在 C1C 上，且 C1NNC13.(1)若以 O 为原点，分别以 OA，OB，OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标(2)若以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标解：(1)正方形 ABCD 中，AB6，ACBD6 2，从而OAOCOBOD3 2，各点坐标分别为 A(
9、3 2，0,0)，B(0,3 2，0)，C(3 2，0,0)，D(0，3 2，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3 2，0,4)，B1(0,3 2，4)，C1(3 2，0,4)，D1(0，3 2，4)，M(0,3 2，2)，N(3 2，0,3)(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)能力提升类14如图所示，在四棱锥 O-ABCD 中，点 M 是 OA 的中点，以OA，OC，OD 为基底
10、的向量DM xOA yOC zOD，则(x，y，z).12，0，1解析：DM DO OM OD 12OA，又DM xOA yOCzOD，x12，y0，z1.15已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且OP 2e1e23e3，OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3.(1)判断 P、A、B、C 四点是否共面；(2)能否以OA，OB，OC 作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP.解：(1)假设四点共面，则存在实数 x、y、z 使OP xOA yOB zOC，且 xyz1，即 2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)，比较对应项的系数，得到关于 x、y、z 的方程组x3yz2，2xyz1，x2yz3，解得x17，y5，z30，与 xyz1 矛盾，故四点不共面；(2)能若向量OA、OB、OC 共面，则存在实数 m、n 使OA mOB nOC，同(1)可证，这不可能，因此OA，OB，OC 可以作为空间的一个基底令OA a，OB b，OC c，由 e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，联立得到方程组，从中解得e13ab5c，e2ac，e34ab7c.所以OP 17OA 5OB 30OC.
