1、微专题2高考中的三角函数与解三角形问题一、选择题(每小题5分,共15分)1.已知sin(+20172)=74,则cos(2 018-2)=()A.-38 B.38 C.-18D.182.已知0x0,0)的最小正周期为,将函数f(x)的图象向左平移6个单位长度后,其图象关于直线x=-3对称,则函数f(x)的表达式为.6.若sin 2=55,sin(-)=1010,且4,2,32,则+=.7.如图2-1,AB是立于山顶上的电视塔,现借助升降机CD测量塔高,当在升降机底部C时,测得点A的仰角为45、点B的仰角为60;当升降机上升10米至点D时,测得点A的仰角为30,则塔高AB=米.图2-1三、解答题
2、(共36分)8.(12分)设函数f(x)=sin(2x+6)-23sin xcos x(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移12个单位长度,得到函数g(x)的图象,试求g(x)在0,2上的最小值.9.(12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinB2cosB2=bsin3cos A.(1)求角A;(2)若a=2,求ABC的周长的取值范围.10.(12分)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ba+c=1-sinAsinC+sinB.(1)求角C的大小;(2)若SABC=23,a+b=6,求c.答案1.
3、C因为sin(+20172)=sin(+1 008+2)=sin(+2)=cos =74,所以cos(2 018-2)=cos 2=2cos2-1=2(74)2-1=-18,故选C.2.B由a-cosxsinx=3,得a=3sin x+cos x=2sin(x+6),又0x,6x+676,所以当x+6=2时,a取最大值,此时amax=2,故选B.3.C解法一由题意知g(x)=msin(x-3)+ncos(x-3),因为g(x)为奇函数,所以g(-x)+g(x)=0对任意的xR恒成立,即msin(-x-3)+ncos(-x-3)+msin(x-3)+ncos(x-3)=0,m-sin(x+3)+
4、sin(x-3)+ncos(x+3)+cos(x-3)=0,-2mcos xsin 3+2ncos xcos 3=0,(-3m+n)cos x=0,对任意的xR恒成立,所以-3m+n=0,即n=3m,可得f(x)=msin x+3mcos x=2msin(x+3).当m0时,f(x)max=2m.故A,B错误.f(-56)=2msin(-56+3)=-2m,所以函数f(x)的图象的一条对称轴是x=-56.故C正确.而函数f(x)的单调性随m的符号的变化而变化,故D错误,选C.解法二由题意知g(x)=msin(x-3)+ncos(x-3),因为函数g(x)为奇函数,所以g(0)=msin(-3)
5、+ncos(-3)=0,即-3m+n=0,所以n=3m,可得f(x)=msin x+3mcos x=2msin(x+3).当m0时,f(x)max=2m.故A,B错误.f(-56)=2msin(-56+3)=-2m,所以函数f(x)的图象的一条对称轴是x=-56.故C正确.而函数f(x)的单调性随m的符号的变化而变化,故D错误,选C.4.25解法一由tan tan =13,cos(-)=45,得sinsincoscos=13,coscos+sinsin=45,解得sinsin=15, coscos=35,故cos(+)=cos cos -sin sin =25.解法二设cos(+)=x,即co
6、s cos -sin sin =x,由cos(-)=45,得cos cos +sin sin =45,由得 cos cos =25+x2,sin sin =25-x2,tan tan =sinsincoscos=25-x225+x2=13,解得x=25,即cos(+)=25.5.f(x)=sin(2x+56)解法一由函数f(x)的最小正周期为可知=2,将f(x)=sin(2x+)的图象向左平移6个单位长度后得到g(x)=sin(2x+3+)的图象,又g(x)=sin(2x+3+)的图象关于直线x=-3对称,所以 2(-3)+3+=k+2(kZ),=k+56(kZ),因为0,所以=56,f(x)
7、=sin(2x+56).解法二由函数f(x)的最小正周期为可知=2,将f(x)=sin(2x+)的图象向左平移6个单位长度后得到g(x)=sin(2x+3+)的图象,又 g(x)=sin(2x+3+)的图象关于直线x=-3对称,所以可知g(-6)=g(-2),即sin =sin(-23),因为0,所以=56,f(x)=sin(2x+56).6.744,2,32,22,又0sin 2=5512,2(56,),即(512,2),-(2,1312),cos 2=-1-sin22=-255.又sin(-)=1010,-(2,),cos(-)=-1-sin2(-)=-31010,cos(+)=cos2+
8、(-)=cos 2cos(-)-sin 2sin(-)=-255(-31010)-551010=22.又(512,2),32,+(1712,2),+=74.7.103在ACD中,ACD=45,ADC=120,则DAC=15,CD=10米,由正弦定理,得CDsin15=ACsin120,得AC=53sin15.又在ACB中,ACB=60-45=15,ABC=30,由正弦定理,得ACsin30=ABsin15,得AB=ACsin15sin30=253sin15sin 15=103(米).8.(1)因为f(x)=sin(2x+6)-23sin xcos x=32sin 2x+12cos 2x-3si
9、n 2x=12cos 2x-32sin 2x=cos(2x+3).(4分)所以函数f(x)的最小正周期T=22=.(5分)由-+2k2x+32k(kZ),得-23+kx-6+k(kZ),所以函数f(x)的单调递增区间为-23+k,-6+k(kZ).(7分)(2)由题意得g(x)=f(x-12)=cos2(x-12)+3=cos(2x+6).(9分)因为x0,2,所以2x+66,76.(11分)所以当2x+6=,即x=512时,g(x)取得最小值,最小值为-1.(12分)9.(1)在ABC中,因为asinB2cosB2=bsin3cos A,所以asin B=3bcos A,(1分)根据正弦定理
10、,得sin Asin B=3sin Bcos A,(2分)因为sin B0,所以tan A=3,(3分)因为0A,所以A=3.(5分)(2)由(1)知,A=3,根据正弦定理bsinB=csinC=asinA,得bsinB=csinC=2sin3=433,(6分)所以b+c=433(sin B+sin C)=433sin B+sin(23-B)=433(sin B+sin23cos B-cos23sin B)=433(32sin B+32cos B)=4sin(B+6).(9分)因为0B23,6B+656,所以12sin(B+6)1,(11分)所以2b+c4,所以4a+b+c6,所以ABC的周长的取值范围为(4,6.(12分)10.(1)由ba+c=1-sinAsinC+sinB=sinC+sinB-sinAsinC+sinB及正弦定理得,ba+c=c+b-ac+b,化简得b2+a2-c2=ba,(3分)由余弦定理得cos C=b2+a2-c22ba=12.C(0,),C=3.(6分)(2)由(1)知C=3,由SABC=23得,12ab32=23,ab=8,(9分)由余弦定理得c2=a2+b2-2ab12=(a+b)2-3ab=12,c=23. (9分)
