1、课时规范练46抛物线 基础巩固组1.已知抛物线x2=ay(a0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.52.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为()A.2B.22C.23D.43.(2019内蒙古呼和浩特模拟,7)已知抛物线x2=12y的焦点为F,M,N是抛物线上两点,若|MF|+|NF|=32,则线段MN的中点P到x轴的距离为()A.32B.34C.58D.544.F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若PF=2FQ
2、,则|PQ|=()A.92B.4C.72D.35.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为()A.22B.6C.2D.36.(2019福建福州模拟,7)已知双曲线C:43x2-4y2=1的左焦点恰好在抛物线D:y2=2px(p0)的准线上,过点P(1,2)作两直线PA,PB分别与抛物线D交于A,B两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,则点A,B的纵坐标之和为()A.2B.4C.-4D.47.(2019江西吉安质检,8)已知直线l:3x-y-3=0过抛物线C:y2=2px的焦点F,且与抛
3、物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是()A.抛物线的方程为y2=4xB.线段AB的长度为163C.MFN=90D.线段AB的中点到y轴的距离为838.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.9.已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1交抛物线于A,B两点,分别从A,B两点向直线l2:x=-2作垂线,垂足分别是D,C,则四边形ABCD的周长为.10.(2019四川成都模拟,16)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,过F
4、且斜率为1的直线交E于A,B两点,线段AB的中点为M,其垂直平分线交x轴于点C,MNy轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7,则E的方程为.综合提升组11.(2019贵州贵阳模拟,9)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0为d2,则d1+d2的最小值为()A.3B.4C.5D.712.(2019河南洛阳联考(四),8)已知抛物线C1:y2=2px(p0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BCx轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为()A.116B.3C.113D.613.(2019河南豫北重点中学联考,14)已
5、知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l与抛物线C相切于Q点,P是l上一点(不与Q重合),若以线段PQ为直径的圆恰好经过F,则|PF|的最小值是.14.(2019黑龙江齐齐哈尔二模,20)设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.创新应用组15.(2019山西湛江一模,8)已知直线l:4x-3y+6=0和抛物线C:y2=4x,P为C上的一点,且P到直线l的
6、距离与P到C的焦点距离相等,那么这样的点P有()A.0个B.1个C.2个D.无数个16.(2019河南安阳模拟,21)已知直线l的方程为y=-x-2,点P是抛物线C:x2=4y上到直线l距离最小的点.(1)求点P的坐标;(2)若直线m与抛物线C交于A,B两点,ABP的重心恰好为抛物线C的焦点F.求ABP的面积.参考答案课时规范练46抛物线1.C因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以|a|4=7-5,所以|a|=8,因此焦点F到准线l的距离是|a|2=4,故选C.2.C利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.yP=26.SPOF=12|OF|yP|=23.故选C.3.C抛物线x2=1
7、2y的焦点为0,18,准线为y=-18,过M,N分别作准线的垂线,则|MM|=|MF|,|NN|=|NF|,所以|MM|+|NN|=|MF|+|NF|=32,所以|PP|=|MM|+|NN|2=34,所以中点P到x轴的距离为|PP|-18=34-18=58.故选C.4.A记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由QFKQPM,得|FK|MP|=|QF|QP|,即1|MP|=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=32,所以|PQ|=|PF|+|QF|=92.故选A.5.B由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立
8、得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则y0=y1+y22=2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=12,线段AB的垂直平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而|ME|=4+4m2=6,故选B.6.CC的左焦点F(-1,0),D的准线x=-p2,故p=2.运用极端化思想处理,当两直线PA,PB重合时,A,B的坐标均为(1,-2),点A,B的纵坐标之和为-4.故选C.7.D直线l:3x-y-3=0经过点F(1
9、,0),可得p=2,即抛物线C:y2=4x,准线方程为x=-1,联立直线3x-y-3=0和抛物线C:y2=4x,可得3x2-10x+3=0,可得A(3,23),B13,-233,即有|AB|=3-132+23+2332=163,由M(-1,23),N-1,-233,F(1,0),可得kNFkMF=233223-2=-1,则MFNF,即MFN=90,线段AB的中点为53,233,则线段AB的中点到y轴的距离为53.综上可得A,B,C正确,D错误.故选D.8.2由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值
10、.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.18+42由题知,F(1,0),准线l的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x,消去y,得x2-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是4,所以|CD|=|AB|sin 4=822=42,所以四边形ABCD的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+42=18+42.10.y2=4xFp2,0,直线
11、AB的方程为y=x-p2.联立方程组y2=2px,y=x-p2,可得x2-3px+p24=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,y1+y2=x1+x2-p=2p,M3p2,p,N(0,p),直线MC的方程为y=-x+5p2.C5p2,0,四边形CMNF的面积为S梯形OCMN-SONF=3p2+5p2p2-12p2p=7p24=7,p=2,即抛物线E的方程为y2=4x.11.A抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则该点到直线的距离为d1+d2最小值,如图所示;由F(1,0),直线4x-3y+11=0,所以d1+d2=
12、|4-0+11|42+32=3,故选A.12.A圆C2:x2+y2-12x+11=0可化为(x-6)2+y2=52,故圆心为(6,0),半径为5,由于BCx轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,故B(6,-5),C(6,5).将B点坐标代入抛物线方程得25=12p,故p=2512,抛物线方程为y2=256x.联立y2=256x,x2+y2-12x+11=0,消去y得x2-476x+11=0,解得x=116或x=6(舍去),故A点横坐标为116.故选A.13.2根据抛物线的对称性设Q(m,2m)(m0),则kQF=2mm-1,所以直线PF的方程为y=1-m2m(x-1),由y2=4x,取y=2x,
13、y=1x,所以直线l的方程是y-2m=1m(x-m),联立y=1-m2m(x-1),y-2m=1m(x-m),解得点P的横坐标x=-1,所以点P在抛物线的准线上运动,当点P的坐标是(-1,0)时,|PF|最小,最小值是2.14.解 (1)设抛物线方程为x2=2py(p0).以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,p=2,该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由y=kx+6,x2=4y消去y整理得x2-4kx-24=0,显然,=16k2+960.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-24.由x2=4y,得y=x
14、24,y=x2.抛物线在点Px1,x124处的切线方程为y-x124=x12(x-x1),令y=-1,得x=x12-42x1,可得点Rx12-42x1,-1,由Q,F,R三点共线得kQF=kFR,x224-1x2=-1-1x12-42x1,即(x12-4)(x22-4)+16x1x2=0,整理得(x1x2)2-4(x1+x2)2-2x1x2+16+16x1x2=0,(-24)2-4(4k)2-2(-24)+16+16(-24)=0,解得k2=14,即k=12,所求直线m的方程为y=12x+6或y=-12x+6.15.C由题P为C上的一点,设Py24,y,P到直线l:4x-3y+6=0的距离d1
15、=|y2-3y+6|32+42.又因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离与到准线的距离相等,所以P到C的焦点距离d2=y24+1,则|y2-3y+6|32+42=y24+1.当y2-3y+632+42=y24+1,即y2+12y-4=0时,0,方程有两个不相等的实数根,即P点有两个;当-(y2-3y+6)32+42=y24+1,即9y2-12y+44=0时,0,方程无实根,所以P点不存在.综上,点P有2个,故选C.16.解 (1)设点P的坐标为(x0,y0),则x02=4y0,所以,点P到直线l的距离d=|x0+y0+2|2=x0+x024+22=|(x0+2)2+4|4222,当且仅当x0=-2
16、时取得最小值,此时P点坐标为(-2,1).(2)抛物线C的焦点F的坐标为(0,1),设线段AB的中点为Q(x0,y0),由三角形重心的性质知PF=2FQ.又P(-2,1),所以(2,0)=2(x0,y0-1),解得x0=1,y0=1,即Q的坐标为(1,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,且x12=4y1,x22=4y2,以上两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=4(y1-y2),所以kAB=y1-y2x1-x2=x1+x24=12,故直线m的方程为y-1=12(x-1),经检验,符合题意,即直线m的方程为y=12x+12,联立抛物线C:x2=4y得x2-2x-2=0,所以|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=15,且点P到直线m的距离为|-2-2+1|5=35,所以ABP的面积为S=121535=323.
