1、考点规范练14导数与函数的单调性、极值、最值考点规范练B册第8页基础巩固组1.(2015江西九江模拟)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)答案:D解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.2.(2015长春调研)已知函数f(x)=12x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既
2、不充分也不必要条件答案:A解析:f(x)=32x2+a,当f(x)在R上单调递增时,f(x)0恒成立,则a0,故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.3.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间a-1,a+1上单调递减,则实数a的取值范围是()A.1a2B.a4C.a2D.00),当x-9x0,即00,且a+13,解得1a2.4.设aR,若函数y=ex+ax,xR有大于零的极值点,则()A.a-1C.a-1eD.a0时,-ex-1,a=-exk1,则下列结论中一定错误的是()A.f1k1k-1C.f1k-1kk-1导学号92950767答案:C解析:构造函数F(x)=f(x)
3、-kx,则F(x)=f(x)-k0,函数F(x)在R上为单调递增函数.1k-10,F1k-1F(0)=f(0)=-1.即f1k-1kk-1-1=1k-1,f1k-11k-1,故C错误.6.(2015东北八校月考)已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.答案:4解析:f(x)=3x2+6ax+3b,f(2)=322+6a2+3b=0,f(1)=312+6a1+3b=-3,解得a=-1,b=0,f(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,f(x)极大值-f(x)极大值=
4、f(0)-f(2)=4.7.(2015成都一诊)已知函数f(x)=3xa-2x2+ln x(a0).若函数f(x)在1,2上为单调函数,则a的取值范围是.导学号92950768答案:0,251,+)解析:f(x)=3a-4x+1x,若函数f(x)在1,2上为单调函数,即f(x)=3a-4x+1x0或f(x)=3a-4x+1x0在1,2上恒成立,即3a4x-1x或3a4x-1x在1,2上恒成立.令h(x)=4x-1x,则h(x)在1,2上单调递增,所以3ah(2)或3ah(1),即3a152或3a3,又a0,所以00,即在-,-13,(1,+)上,函数f(x)单调递增,若f(x)0,由f(x)=
5、0得x=1e,所以f(x)在区间0,1e上单调递减,在区间1e,+上单调递增.所以,x=1e是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.(2)g(x)=xln x-a(x-1),则g(x)=ln x+1-a,由g(x)=0,得x=ea-1,所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,在区间(ea-1,+)上,g(x)为递增函数.当ea-11,即a1时,在区间1,e上,g(x)为递增函数,所以g(x)的最小值为g(1)=0.当1ea-1e,即1a2时,g(x)的最小值为g(ea-1)=a-ea-1.当ea-1e,即a2时,在区间1,e上,g(x)为递减函数,所以g(x)的最小值为g(e)=
6、a+e-ae.综上,当a1时,g(x)的最小值为0;当1a0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)导学号92950771答案:A解析:当x0时,令F(x)=f(x)x,则F(x)=xf(x)-f(x)x20时,F(x)=f(x)x为减函数.f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)0;在(1,+)上,F(x)0,即当0x0;当x1时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).故选A.12.已知
7、函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是.答案:(0,1)(2,3)解析:由题意知f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x.由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t3.13.(2015云南第一次检测)已知f(x)=ex(x3+mx2-2x+2).(1)假设m=-2,求f(x)的极大值与极小值;(2)是否存在实数m,使f(x)在-2,-1上单调递增?如果存在,求m的取值范围;如果不存在,请说
8、明理由.解:(1)当m=-2时,f(x)=ex(x3-2x2-2x+2),其定义域为(-,+).则f(x)=ex(x3-2x2-2x+2)+ex(3x2-4x-2)=xex(x2+x-6)=(x+3)x(x-2)ex,当x(-,-3)或x(0,2)时,f(x)0;f(-3)=f(0)=f(2)=0,f(x)在(-,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增;在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增;当x=-3或x=2时,f(x)取得极小值;当x=0时,f(x)取得极大值,f(x)极小值=f(-3)=-37e-3,f(x)极小值=f(2)=-2e2,f(x)极大值=f(0)=2.(2)f(
9、x)=ex(x3+mx2-2x+2)+ex(3x2+2mx-2)=xexx2+(m+3)x+2m-2.f(x)在-2,-1上单调递增,当x-2,-1时,f(x)0.又当x-2,-1时,xex0,函数f(x)在(0,+)上单调递增.当a0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),当a=-12时,=0,f(x)=-12(x-1)2x(x+1)20,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当a-12时,0,g(x)0,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当-12a0.设x1,x2(x10,所以x(0,x1)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增;x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减.综上可得,当a0时,函数f(x)在(0,+)上单调递增;当a-12时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当-12a0时,f(x)在0,-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a,+上单调递减,在-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a上单调递增.导学号92950773
