1、专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结1等腰三角形的判定：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等2证明线段相等的方法：当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线如图所示：例题与求解【例1】如图，在ABC中，AB=7，AC=1
2、1，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则CF的长为_ （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M” A B D M F C 【例2】如图，在ABC中，B=2C，则AC与2AB之间的关系是（ ） AAC2ABBAC2ABCAC2ABDAC2AB(山东省竞赛试题) 解题思路：如何条件B=2C，如何得到2AB，这是解本题的关键 A B C 【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断EMC的形状，并说明理由（山东省中考试
3、题）解题思路：从ADEBAC出发，先确定ADB的形状，为判断EMC的形状奠定基础 A B C M D E 【例4】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明FAE=AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形E A B D C F 【例5】如图，在等腰ABC中，AB=AC，A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求BDC度数（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口如图1，以BC为边在
4、ABC内作等边BCO；如图，以AC为边作等边ACE B C A D B C A D 图1 O B C A D 图2 E 能力训练A级1已知ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则BAC=_2如图，在RtABC中，C=900，ABC=660，ABC以点C为中点旋转到ABC的位置，顶点B在斜边AB上，AC与AB相交于D，则BDC=_A C D B B A (第2题) A B C D E F (第3题) (第4题) 9 9 1 5 3如图，ABC是边长为6的等边三角形，DEBC于E，EFAC于F，FDAB于D，则AD=_ （天津市竞赛试题）4如图，一个六边形的六个内角都是
5、1200，其连续四边的长依次是1，9，9，5，那么这个六边形的周长是_（“祖冲之杯”邀请赛试题）5如图，ABC中，AB=AC，B=360，D、E是BC上两点，使ADE=AED=2BAD，则图中等腰三角形共有（ ）A3个B4个C5个D6个6若ABC的三边长是，且满足，则ABC（ ）A钝角三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形 （“希望杯”邀请赛试题）7等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）A300B300或1500 C1200或1500 D300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8如图，已知RtABC中，C=900，A=300，在直线BC或AC
6、上取一点P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）A2个 B4个 C6个 D8个 （江苏省竞赛试题）B C A B A C D E B C A D F G E 第5题图 第8题图 第9题图9如图在等腰RtABC中，ACB=900，D为BC中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G 求证：ADCF； 连结AF，度判断ACF的形状，并说明理由10如图，ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CD （天津市竞赛试题）B A C D 11如图，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD
7、的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形 （江苏省竞赛试题）A C E N M B D 12如图1，RtABC中，ACB=900，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F A B D F E C 图1 A B D F E C 图2 A E D 求证：CE=CF； 将图1中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论 （山西省中考试题）B级1如图，ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，则B：C的值=_ A B C D (第1题) (第2题) A B D E C 2如图
8、，ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若BAC+DAE=1500，则BAC的度数是_3在等边ABC所在平面内求一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_个4如图，在ABC中，ABC=600，ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（） A2 B3 C4D5 A B D C E F P Q S (第4题) A B C E D 第5题 A A1 N M A2 A3 (第6题) 5如图，在五边形ABCDE中，A=B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，则D=（ ） A300 B450
9、 C600 D67.50 （“希望杯”竞赛试题）6如图，MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ） AA5 BA6 CA7 DA87若P为ABC所在平面内一点，且APB=BPC=CPA=1200，则点P叫作ABC的费尔马点，如图1A B C P A C B B 图1 图2 若点P为锐角ABC的费尔马点，且ABC=600，PA=3，PC=4，则PB的值为_如图2，在锐角ABC外侧作等边ACB，连结BB求证：BB过ABC的费尔马点P，且BB=PA+PB+PC （湖州市
10、中考试题）8如图，ABC中，BAC=600，ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP （全国初中数学联赛试题）A B P Q C 9如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，过M作MEAD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC) （重庆市竞赛试题）A B D M C F E 10在等边ABC的边BC上任取一点D，作DAE=600，DE交C的外角平分线于E，那么ADE是什么三角形？证明你的结论 （学习报公开赛试题）11如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相
11、交于点A、B，过点C(4，4)作平行于轴的直线交AB于点D，CD=10求直线的解析式；求证：ABC是等腰直角三角形；将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点A、B，在直线CD上存在点P，使得ABP是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标 （宁波市江东区模拟题）B A C O D y x 12如图1，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A(4，4) 求B点坐标； 如图2，若C为轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD，ACD=900，连接OD，求AOD度数； 如图3，过点A作轴于E，F为轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰R
12、tEGH，过A作轴垂线交EH于点M，连接FM，等式=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由 B A O x y B A O x y C D B A O x y E F G H M 图1 图2 图3 专题17 等腰三角形的判定例1 延长MF，BA交于E，延长FM至点P，使MP=MF，连BP，则BMPCMF，BP=CF.AD平分BAC，ADFM，BAD=DAC=MFC=AFE=E=P，AE=AF，BE=BP，即AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF，CF=(AB+AC)= (7+11)=9.例2 D例3 提示：EMC为等腰直角三角形，连AM，易证：ADEBAC.AD=AB， 又DA
13、B=90.又M为BD中点，AMDB且DM=BM=AM. 又MDE=MAC=105，EDMCAM. EM=MC，DME=AMC ，DME+EMA=AMC +EMA=90.EMC为等腰直角三角形.例4延长AD至G，使DG=AD，连接BG.由ADCGDB，得AC=BG，ACBG.BE=AC，BE=BG，得BED=BGD，FAE=BGD=BED=AEF，故AF=EF.ABCGDEF例5 提示：结合图1，给出解答过程.由图形的轴对称性知：ABOACO，BAO=CAO=10，ABO=ACO=20，AOB=AOC=150.又BO=BC=CO= AD，ACDCAO，AOC=CDA=150，故BDC=30.A级
14、1.90或75或15 2.72 3.2 4.375.D 6.D 提示：将三式相加 7.D 8.C9.先证ACDCBF，CAD=BCF.又CAD+CDG=BCF+CDG=90，CGD=90，ADCF.ACF为等腰三角形.10.提示：延长DB至E，使BE=AB，连结AE，证明E=C，AC=AE.11. 提示：证明DCAECB、DCMECN，NCM=60.12. 提示：先证明CEF=CFE.作EGAC于G，证明CEGBED，可得CE= BE，又CF=CE，BE=CF.B级1.2:1 2.110 3.10 4.D5.C 提示：在五边形内作等边三角形ABF，则E、F、C在一条直线上.6.B7. 提示：
15、在BB上取点P，使BPC=120，再在PB上取点E使PE=PC，连结CE. 则由PCE为等边三角形，可得：PC=CE，PCE=60，CEB=120ACB为正三角形，可证：ACPBCE. APC=BEC=120，PA=EB.APC=BPC=CPA=120，P为ABC的费马点.BB过ABC的P，且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC.8. 提示：延长AB至M，使BM=BP，连结PM，则AB+BP=AM，可证明BQ=QC.AQ+QB=AQ+QC=AC，又由AMPACP得AM=AC，故AB+BP=AQ+BQ.9. 提示：延长FM至P，使PM=FM，连结BP，则BMPCMF，AE=AF，BE=BP.
16、10. 提示：当D为BC的端点，显见AED是等边三角形；当D为BC边的中点，取AC的中点F，连接DF，易证CDF为等边三角形，又ADFEDC，故ADE为等边三角形猜测：当D为BC上任意点时，ADE也为等边三角形11（1）；（2）过点C作CHy轴于H，证明AOBBHC即可；（3）符合条件的P点共有5个，分别为图a图b12提示：（1）B(8，0)；（2）如图a，过A作ASOB于S，过D作DTx轴于TOAB为等腰直角三角形，OS=AS=BS，再由ASCCTD，可得：AS=CT，SC=TDCT=AS=OS，OT=CS=TDTOD=45，则AOD=90；（3）等式成立，理由如下：如图b，在AM上截取AS=OF，连ES，可证EASEOF，可得：ES=EF，AES=OEFSEF=AEO=90，FEM=SEM=45又EM=EM，EFMESM，FM=SM，AM=AS+SM=OF+FM，
