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人教版八(下)数学培优专题17 等腰三角形的判定(含答案解析).doc

1、专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后,我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结1等腰三角形的判定:从定义入手,证明一个三角形的两条边相等;从角入手,证明一个三角形的两个角相等2证明线段相等的方法:当所证的两条线段位于两个三角形,通过全等三角形证明;当所证的两条线段位于同一个三角形,通过等角对等边证明;寻找某条线段,证明所证的两条线段都与它相等善于发现、构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质为解题服务,是解几何题的一个常用技巧常见的构造方法有:平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线如图所示:例题与求解【例1】如图,在ABC中,AB=7,AC=1

2、1,点M是BC的中点,AD是BAC的平分线,MFAD,则CF的长为_ (全国初中数学竞赛试题) 解题思路:角平分线+平行线易构造等腰三角形,解题的关键是利用条件“中点M” A B D M F C 【例2】如图,在ABC中,B=2C,则AC与2AB之间的关系是( ) AAC2ABBAC2ABCAC2ABDAC2AB(山东省竞赛试题) 解题思路:如何条件B=2C,如何得到2AB,这是解本题的关键 A B C 【例3】两个全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连结BD,取BD中点M,连结ME,MC,试判断EMC的形状,并说明理由(山东省中考试

3、题)解题思路:从ADEBAC出发,先确定ADB的形状,为判断EMC的形状奠定基础 A B C M D E 【例4】如图,已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF(天津市竞赛试题)解题思路:只需证明FAE=AEF,利用中线倍长,构造全等三角形、等腰三角形E A B D C F 【例5】如图,在等腰ABC中,AB=AC,A=200,在边AB上取点D,使AD=BC,求BDC度数(“祖冲之杯”竞赛试题)解题思路:由条件知底角为300,这些角并不是特殊角,但它们的差却为600,600使我们联想到等边三角形,由此找到切入口如图1,以BC为边在

4、ABC内作等边BCO;如图,以AC为边作等边ACE B C A D B C A D 图1 O B C A D 图2 E 能力训练A级1已知ABC为等腰三角形,由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半,则BAC=_2如图,在RtABC中,C=900,ABC=660,ABC以点C为中点旋转到ABC的位置,顶点B在斜边AB上,AC与AB相交于D,则BDC=_A C D B B A (第2题) A B C D E F (第3题) (第4题) 9 9 1 5 3如图,ABC是边长为6的等边三角形,DEBC于E,EFAC于F,FDAB于D,则AD=_ (天津市竞赛试题)4如图,一个六边形的六个内角都是

5、1200,其连续四边的长依次是1,9,9,5,那么这个六边形的周长是_(“祖冲之杯”邀请赛试题)5如图,ABC中,AB=AC,B=360,D、E是BC上两点,使ADE=AED=2BAD,则图中等腰三角形共有( )A3个B4个C5个D6个6若ABC的三边长是,且满足,则ABC( )A钝角三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形 (“希望杯”邀请赛试题)7等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于( )A300B300或1500 C1200或1500 D300或1200或1500(“希望杯”邀请赛试题)8如图,已知RtABC中,C=900,A=300,在直线BC或AC

6、上取一点P,使得PAB是等腰三角形,则符合条件的P点有( )A2个 B4个 C6个 D8个 (江苏省竞赛试题)B C A B A C D E B C A D F G E 第5题图 第8题图 第9题图9如图在等腰RtABC中,ACB=900,D为BC中点,DEAB,垂足为E,过点B作BFAC交DE的延长线于点F,连接CF交AD于G 求证:ADCF; 连结AF,度判断ACF的形状,并说明理由10如图,ABC中,ADBC于D,B=2C,求证:AB+BD=CD (天津市竞赛试题)B A C D 11如图,已知ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D,使得CDE是等边三角形,如果M是线段AD

7、的中点,N是线段BE的中点,求证:CMN是等边三角形 (江苏省竞赛试题)A C E N M B D 12如图1,RtABC中,ACB=900,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F A B D F E C 图1 A B D F E C 图2 A E D 求证:CE=CF; 将图1中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置,使点E落在BC边上,其他条件不变,如图2所示,试猜想:BE与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论 (山西省中考试题)B级1如图,ABC中,AD平分BAC,AB+BD=AC,则B:C的值=_ A B C D (第1题) (第2题) A B D E C 2如图

8、,ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,若BAC+DAE=1500,则BAC的度数是_3在等边ABC所在平面内求一点P,使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点P有_个4如图,在ABC中,ABC=600,ACB=450,AD、CF都是高,相交于P,角平分线BE分别交AD、CF于Q、S,则图中的等腰三角形的个数是() A2 B3 C4D5 A B D C E F P Q S (第4题) A B C E D 第5题 A A1 N M A2 A3 (第6题) 5如图,在五边形ABCDE中,A=B=1200,EA=AB=BC=DC=DE,则D=( ) A300 B450

9、 C600 D67.50 (“希望杯”竞赛试题)6如图,MAN=160,A1点在AM上,在AN上取一点A2,使A2A1=AA1,再在AM上取一点A3,使A3A2=A2A1,如此一直作下去,到不能再作为止,那么作出的最后一点是( ) AA5 BA6 CA7 DA87若P为ABC所在平面内一点,且APB=BPC=CPA=1200,则点P叫作ABC的费尔马点,如图1A B C P A C B B 图1 图2 若点P为锐角ABC的费尔马点,且ABC=600,PA=3,PC=4,则PB的值为_如图2,在锐角ABC外侧作等边ACB,连结BB求证:BB过ABC的费尔马点P,且BB=PA+PB+PC (湖州市

10、中考试题)8如图,ABC中,BAC=600,ACB=400,P、Q分别在BC、AC上,并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线,求证:BQ+AQ=AB+BP (全国初中数学联赛试题)A B P Q C 9如图,在ABC中,AD是BAC的平分线,M是BC的中点,过M作MEAD交BA延长线于E,交AC于F,求证:BE=CF=(AB+AC) (重庆市竞赛试题)A B D M C F E 10在等边ABC的边BC上任取一点D,作DAE=600,DE交C的外角平分线于E,那么ADE是什么三角形?证明你的结论 (学习报公开赛试题)11如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线:与轴、轴的正半轴分别相

11、交于点A、B,过点C(4,4)作平行于轴的直线交AB于点D,CD=10求直线的解析式;求证:ABC是等腰直角三角形;将直线沿轴负方向平移,当平移恰当的距离时,直线与,轴分别相交于点A、B,在直线CD上存在点P,使得ABP是等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标 (宁波市江东区模拟题)B A C O D y x 12如图1,在平面直角坐标系中,AOB为等腰直角三角形,A(4,4) 求B点坐标; 如图2,若C为轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角ACD,ACD=900,连接OD,求AOD度数; 如图3,过点A作轴于E,F为轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰R

12、tEGH,过A作轴垂线交EH于点M,连接FM,等式=1是否成立?若成立,请证明;若不成立,说明理由 B A O x y B A O x y C D B A O x y E F G H M 图1 图2 图3 专题17 等腰三角形的判定例1 延长MF,BA交于E,延长FM至点P,使MP=MF,连BP,则BMPCMF,BP=CF.AD平分BAC,ADFM,BAD=DAC=MFC=AFE=E=P,AE=AF,BE=BP,即AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF,CF=(AB+AC)= (7+11)=9.例2 D例3 提示:EMC为等腰直角三角形,连AM,易证:ADEBAC.AD=AB, 又DA

13、B=90.又M为BD中点,AMDB且DM=BM=AM. 又MDE=MAC=105,EDMCAM. EM=MC,DME=AMC ,DME+EMA=AMC +EMA=90.EMC为等腰直角三角形.例4延长AD至G,使DG=AD,连接BG.由ADCGDB,得AC=BG,ACBG.BE=AC,BE=BG,得BED=BGD,FAE=BGD=BED=AEF,故AF=EF.ABCGDEF例5 提示:结合图1,给出解答过程.由图形的轴对称性知:ABOACO,BAO=CAO=10,ABO=ACO=20,AOB=AOC=150.又BO=BC=CO= AD,ACDCAO,AOC=CDA=150,故BDC=30.A级

14、1.90或75或15 2.72 3.2 4.375.D 6.D 提示:将三式相加 7.D 8.C9.先证ACDCBF,CAD=BCF.又CAD+CDG=BCF+CDG=90,CGD=90,ADCF.ACF为等腰三角形.10.提示:延长DB至E,使BE=AB,连结AE,证明E=C,AC=AE.11. 提示:证明DCAECB、DCMECN,NCM=60.12. 提示:先证明CEF=CFE.作EGAC于G,证明CEGBED,可得CE= BE,又CF=CE,BE=CF.B级1.2:1 2.110 3.10 4.D5.C 提示:在五边形内作等边三角形ABF,则E、F、C在一条直线上.6.B7. 提示:

15、在BB上取点P,使BPC=120,再在PB上取点E使PE=PC,连结CE. 则由PCE为等边三角形,可得:PC=CE,PCE=60,CEB=120ACB为正三角形,可证:ACPBCE. APC=BEC=120,PA=EB.APC=BPC=CPA=120,P为ABC的费马点.BB过ABC的P,且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC.8. 提示:延长AB至M,使BM=BP,连结PM,则AB+BP=AM,可证明BQ=QC.AQ+QB=AQ+QC=AC,又由AMPACP得AM=AC,故AB+BP=AQ+BQ.9. 提示:延长FM至P,使PM=FM,连结BP,则BMPCMF,AE=AF,BE=BP.

16、10. 提示:当D为BC的端点,显见AED是等边三角形;当D为BC边的中点,取AC的中点F,连接DF,易证CDF为等边三角形,又ADFEDC,故ADE为等边三角形猜测:当D为BC上任意点时,ADE也为等边三角形11(1);(2)过点C作CHy轴于H,证明AOBBHC即可;(3)符合条件的P点共有5个,分别为图a图b12提示:(1)B(8,0);(2)如图a,过A作ASOB于S,过D作DTx轴于TOAB为等腰直角三角形,OS=AS=BS,再由ASCCTD,可得:AS=CT,SC=TDCT=AS=OS,OT=CS=TDTOD=45,则AOD=90;(3)等式成立,理由如下:如图b,在AM上截取AS=OF,连ES,可证EASEOF,可得:ES=EF,AES=OEFSEF=AEO=90,FEM=SEM=45又EM=EM,EFMESM,FM=SM,AM=AS+SM=OF+FM,

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