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[原创]2011届高考数学二轮复习资料(苏教版)三角函数.doc

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资源描述

1、三角函数例1。若角的终边经过点,则 。【思路分析】由任意三角函数定义先求出,然后由二倍角正切公式可得。解:角的终边经过点,所以,。【解后反思】本题是考查任意角三角函数和二倍角公式,求解时要能正确地理解任意角的三角函数定义,熟记三角公式。练习:已知角的终边经过点,则 。解答:。例2。已知且,则 。【思路分析】由条件可先求得,然后据同角三角函数公式求得。解:由得,从而。又,所以,所以。【解后反思】本题是检测二倍角的正弦及同角三角函数关系式,注意角的范围以便正确确定三角函数值的符号。练习:已知-x0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值;(2)求的值.解 (1)方法一 联立方程: 由

2、得sinx=-cosx,将其代入,整理得25cos2x-5cosx-12=0.-x0,所以sinx-cosx=-.方法二 sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+= 又-x0,sinx0,cosx0,sinx-cosx0由可知:sinx-cosx=-. (2)由已知条件及(1)可知,解得,tanx=-.又= =.例3.若,,,则的值等于 。【思路分析】本题我们首先应注意到条件角与结论角之间的关系:,从而可先由条件利用同角三角函数关系求得

3、条件角的余弦,再用两角和的余弦公式求得。由,则,又 ,所以,。 。解答:。【解后反思】对知值求值问题,在求解中要善于用条件中的角来表示结论中的角。练习:已知,sin()= sin则cos=_.解: , ,则=例4.求的值。【思路分析】注意到式中的角和三角函数名称多样性,可考虑从统一角和名称入手,化异为同,达到求解的目的。解: =【解后反思】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值。方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化,(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所

4、有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.练习:求的值。解: 例5.已知,()求的值;()求的值。【思路分析】第一问直接求解方程,但要注意角的范围。对于第二个问题,我们应设法在恒等变形中构造出出来。解:()由得,即,又,所以为所求。()=。【解后反思】这一类问题在求解中要注意:在做恒等变形时尽量构造出条件中的三角函数,然后代换。练习:已知()求的值;()求的值。解:()由,得,所以。(),。例6。将函数的图象向左平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是 。 【思路分析】将函数的图象向左平移

5、,平移后的图象所对应的解析式为,由图象知,所以,因此。解答:。【解后反思】根据图象求的解析式,一般做法是先求周期,然后得到;利用最高点与最低点的纵坐标得到;图象在轴左边与轴第一个交点的横坐标得到。练函数图像的一部分如右图所示它的解析式是 。解答:。解析:先据图象知:,周期为,从而,又。例7。为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点 。【思路分析】利用三角函数图象变换规律:先平移后伸缩。将的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得到函数的图像。解:将的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)。

6、【解后反思】本题主要考三角函数的图象变换,这是一道平时训练的比较多的一种类型。由函数的图象经过变换得到函数(1)y=Asinx,xR(A0且A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A0且1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍(纵坐标不变) (3)函数ysin(x),xR(其中0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时平行移动个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向:“加左”“减右”),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但注意:先伸缩时,平移的单位把x前面的系数提取出来。练习:已知函

7、数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x-,xR.函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到?解析:=先把图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象。例8已知函数 (I)求函数的最小正周期和单调递减区间; (II)求函数在上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值。【思路分析】先对函数表达式利用二倍角公式,诱导公式或两角和与差的正余弦公式进行恒等变形,把它化成仅含一个三角函数,然后对照正弦函数相应的性质处理。解:(I)所以由得所以函数的最小正周期为 (II)由(I)有因为 所以因为所以当取得最大值2【解后反思】此类问题在处理过程中,把函数式化为仅含一

8、个三角函数是关键。练习、已知函数为常数)(1)求函数的最小正周期;(2)求函数的单调递增区间;若时,的最小值为 2 ,求的值 (1) 的最小正周期 (2) 当即时,函数单调递增,故所求区间为 (3) 时,时,取得最小值 例9如图,位于处的信息中心获悉:在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往处救援,求的值【思路分析】本题是一道实际应用题,首先应考虑如何转化为数学问题。从文字描述中不难看出它与解三角形有关。在中利用正弦定理和余弦定理即可解决。【解】 如题图所示,在中,,由余弦定理知 由正弦定理

9、由,则为锐角,.由,则【解后反思】有关求解三角形中的计算问题一般要善于利用正弦定理和余弦定理,选择好定理是求解的关键,同时要防止增解的情况。练习:某观测站C在A城的南偏西的方向.由A城出发的一条公路,走向是南偏东,在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米才能到达A城?解 设ACD=,CDB=.在BCD中,由余弦定理得cos=-,则sin=,而sin=sin(-60)=sincos60-cossin60=+=,在ACD中,由正弦定理得=,AD=15(千米).答 这个人再走15千米就可到达A城.例10在中,a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,且a、b、c互不相等,设a=4,c=3,.()求的值; ()求b的值. 【思路分析】从所给条件来看:告诉三角形两边及其对角,因此要先用正弦定理求出,再用余弦定理求出b。()解:在中,由正弦定理,得,因为,所以,即,解得; ()解:在中,由余弦定理, 得,解得.因为a、b、c互不相等,所以. 【解后反思】解三角形的问题求解时关键是正确地选择正弦定理和余弦定理。 练习: (I)求角B 的大小; (II)若解:(I):代入整理得:.即:,在三角形中,是三角形的内角,B=60. (II): 故

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