1、1.3.3 立体几何综合一、选择题1若平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均有可能解析：因为不存在实数使得n1n2，因此n1与n2不平行，又n1n22(3)315(4)230，所以n1与n2不垂直，从而平面，相交但不垂直故选C.答案：C2已知空间中两点P1(x,3,2)和P2(5,7,4)的距离为6，则实数x的值为()A1 B.9C1或9 D.1或9解析：空间中两点P1(x,3,2)和P2(5,7,4)的距离为6，可得6，解得x1或x9.答案：C3平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于
2、()A5 B.6C4 D.8解析：设a，b，c，则abc，2a2b2c22ac2bc2ca25，因此|5.答案：A4设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A.B.C.D.解析：()()()()，由OG3GG1知，()，(x，y，z).答案：A5已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若l b c(，R)，ma，ab，ac且a0，则直线m与直线l()A共线 B.相交C垂直 D.不共面解析：由ma且a0，可设mta(tR)，所以mlm( b c) mb mc tab tac0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直答案：C6如
3、图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcC.abc D.abc解析：由题意知，ac(ab)abc.故应选A.答案：A7已知向量a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A. B. C.4 D.8解析：设向量a和b的夹角是.则由空间向量的数量积公式得cos ，sin ，所以以a和b为邻边的平行四边形的面积S2|a|b|.故选B.答案：B8平面的一个法向量为n(1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A. B.C. D.解析：y轴的方向向量为m(0,1,0)，设y轴与平面所成
4、的角为.则sin |cos|，.答案：B9在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，.故0101，|，|.cos .即直线AM与CN所成角的余弦值为.故选A.答案：A10如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则点B到平面EFG的距离为()A. B. C. D.1解析：以C点为坐标原点，分别以CD
5、，CB，CG所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系F(4,2,0)，E(2,4,0)，G(0,0,2)，B(0,4,0)，(2,2,0)，(2，4,2)所以平面EFG的一个法向量为m(1,1,3)d.答案：B11如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：如图，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a), (a，a,0)设平面AGC的法向量为n(x1，y
6、1,1)由n(1，1,1)sin .答案：C12过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则PB与平面CDP所成的角为()A30 B.45C60 D.90解析：建立如图所示空间直角坐标系设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，(1,0，1)由题意知，AD平面ABP，设E为PD的中点，则E.连接AE，则AEPD.又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.为平面CDP的法向量则PB与平面CDP所成角的正弦值sin |cos |，所以为30.答案：A二、填空题13已知向量a，b，c是空间的一个单位正交
7、基底，向量ab，ab，c是空间的另一个基底，若向量m在基底a，b，c下的坐标为(3,5,9)，则m在基底ab，ab,3c下的坐标为_解析：由题意得m3a5b9c.设mx(ab)y(ab)3zc.则有得所以m在基底ab，ab,3c下的坐标为(4，1,3)答案：(4，1,3)14如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为_解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)设ADa，则D(1,0，a)，(1,
8、0，a)，(0,2,2)设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)则令z1，得m(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)则由cos 60得，即a.故AD.答案：15在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是_解析：如图所示建立空间直角坐标系，设OAOBOC1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M.故(1,1,0)，(1,0,1)，.设平面ABC的法向量为n(x，y，z)则得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.答案：16如图
9、所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.解析：方法一由已知得B1D平面AC1，又CF平面AC1，B1DCF，故若CF平面B1DF，则必有CFDF.设AFx(0x3a)，则CF2x24a2，DF2a2(3ax)2.又CD2a29a210a2，10a2x24a2a2(3ax)2，解得xa或x2a.当AFa或AF2a时，CF平面B1DF.方法二分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz.则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，设F(a,0
10、，m)，D，C(0，a,0)，(a,0，m3a)，CF面B1DF，CFB1F，即0，0，可得2a2m(m3a)0，解得ma或m2a.当AFa或AF2a时，CF平面B1DF.答案：a或2a三、解答题1如图所示，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.(1)求证：AB平面MCD；(2)求平面ACM与MD所成角的正弦值解析：(1)证明：取CD中点O，连接MO.因为MCD为正三角形，所以MOCD.由于平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.又因为AB平面BCD，所以ABMO.又AB平面MCD，MO平面MCD，所以AB平面MCD.(2)连接OB，则OBCD，
11、又MO平面BCD，取O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示OBOM，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)，D(1,0,0)(1,0，)，(1，2)，(1,0，)设平面ACM的法向量为n(x，y，z)，由得取z1，得n(，1,1)则MD与平面BCD所成角的正弦值sin |cos |.2如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中BAEGAD45，AB2AD2，BAD60.(1)求证：平面BDG平面ADG；(2)求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值解析：(1)证明：在BAD中，因为AB2AD2，BAD60，由余弦定理得，BD2AD2AB22ABADcos 60，解得BD.AB2AD2DB2，ADDB，在直平行六面体中，GD平面ABCD，DB平面ABCD，GDDB，又ADGDD，BD平面ADG，平面BDG平面ADG.(2)如图以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，因为BAEGAD45，AB2AD2，所以A(1,0,0)，B(0，0)，E(0，2)，G(0,0,1)，(1，2)，(1,0,1)，(0，1)设平面AEFG的法向量n(x，y，z)，则令x1，得y，z1，n.设直线GB和平面AEFG的夹角为，所以sin |cos，n|，所以直线GB与平面AEFG所成角的正弦值为.
