1、2020-2021学年河南省新乡市名校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1设集合Mx|2xx20，Nx|xa，若MN，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da22已知复数z（i为虚数单位），则|z|（）A1BC2D3已知等差数列an的前n项和为Sn，若S540，a25，则S11（）A165B176C180D1874党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GDP）y（单位：万亿
2、元）关于年份代号x的回归方程为6.6x+50.4（x1，2，3，4，5，6，7），由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（）A14.0B13.6C202.2D195.65北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）ABCD6设函数f（x）2x2x+x3，则使得不等式f（2x1）+f（3）0成立的实数x的取值范围是（）A（，
3、1）B（，2）C（1，+）D（2，+）7已知（1，2），（m，1），（3，4），若（+），则向量，夹角的正切值为（）AB1CD8已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为（）A8B7C6D59设0a，b，c1，随机变量的分布列是012Pabc若，则（）ABCD10已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x0时，y的值表示2021年年初的种群数量若t（tN*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln31.09）A9B10C11D1211已知椭圆G：（ab0）的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两
4、点若AB的中点坐标为，则G的方程为（）ABCD12若函数f（x）cosx与函数（mR）的图象在区间上有且仅有一个公共点，则实数m的取值范围为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若二项式（nN*）的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是 14南宋著名数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前n项和为Sn，若数列an满足an2log2（Sn+1）1，则a2021 15中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且
5、两曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，且，|PF1|8，则e2 16如图，正四棱锥PABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为 三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）求sinB；（）若，b2（）求的值；（）求ABC的面积18中国探月工程自2004年立项以来，
6、聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）关注没关注合计男女合计附：P（K2k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879，其中na+b+c+d（1）完成上面的22列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对
7、嫦娥五号关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望19在三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC上一点，E是BC1的中点，且DE平面ABB1A1（1）证明：DADC；（2）若BB1平面ABC，平面ABB1A1平面BCC1B1，AA1ACAB，求直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值20已知点M是抛物线C1：yx2的准线上的任意一点，过点M作C1的两条切线MP，MQ，其中P，Q为切点（1）证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标；（2）若直线PQ交椭圆C2：+1于A，B两点，求的最小
8、值21已知函数f（x）lnx+（aR且a0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a2时，若关于x的方程f（x）m有两个实数根x1，x2，且x1x2，求证：x1+x21【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）求曲线C与直线l的普通方程；（）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M（，0），求|PM|2+|QM|2的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|2
9、|xb|（a0，b0）（1）当ab1时，解不等式f（x）0；（2）若函数g（x）f（x）+|xb|的最大值为2，求的最小值参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1设集合Mx|2xx20，Nx|xa，若MN，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da2解：由已知可得M0，2，N（，a），因为MN，则只需a2，故选：B2已知复数z（i为虚数单位），则|z|（）A1BC2D解：z，故选：D3已知等差数列an的前n项和为Sn，若S540，a25，则S11（）A165B176C180D187解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S540，a25，可得，解得a12，d3，所以
10、a6a1+5d2+1517，所以S1111a61117187故选：D4党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GDP）y（单位：万亿元）关于年份代号x的回归方程为6.6x+50.4（x1，2，3，4，5，6，7），由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（）A14.0B13.6C202.2D195.6解：到2035年底对应的年份代号为23，把x23代入6.6x+50.4得，6.623+50.4202.
11、2（万亿元），又14.0，所以到2035年底，我过人均国内生产总值约为14.0万元故选：A5北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）ABCD解：北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，基本事件总数n21，玉衡和天权至少一颗被选中包含的基本事件个数m11，则玉衡和天权
12、至少一颗被选中的概率为P故选：B6设函数f（x）2x2x+x3，则使得不等式f（2x1）+f（3）0成立的实数x的取值范围是（）A（，1）B（，2）C（1，+）D（2，+）解：由函数解析式知函数f（x）是定义在R上的奇函数和单调递增函数，原不等式可化为f（2x1）f（3），2x13，解得x1，x的取值范围是（，1）故选：A7已知（1，2），（m，1），（3，4），若（+），则向量，夹角的正切值为（）AB1CD解：根据题意，设向量，夹角为，（1，2），（m，1），（3，4），则+（1+m，3）若（+），则有（+）3（1+m）120，解可得m3；则（3，1），则有|，|，3+25，则cos，又由0
13、，则，故tan1；故选：B8已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为（）A8B7C6D5解：设原数据为x1，x2，x6，则，（x14）2+（x24）2+（x64）28，加入2和6两个新数据后，这8个数的平均数为，故这8个数的方差为（x14）2+（x24）2+（x64）2+（24）2+（64）2故选：B9设0a，b，c1，随机变量的分布列是012Pabc若，则（）ABCD解：，由离散型随机变量X的分布列的性质知：，解得a，b，c故选：B10已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x0时，y的值表示2021年年初的种群数量若t（tN*）年后
14、，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln31.09）A9B10C11D12解：由题意可知8k，即，10.9故选：C11已知椭圆G：（ab0）的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为，则G的方程为（）ABCD解：设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，两式作差得：，整理可得设线段AB的中点为，即，另一方面，kOM1，所以，所以，解得，故椭圆G的方程为故选：D12若函数f（x）cosx与函数（mR）的图象在区间上有且仅有一个公共点，则实数m的取值范围为（）ABCD解：由题意知，方程在区间上有且仅有一个实根，即（1+cosx）exm0在
15、区间上有且仅有一个实根令h（x）（1+cosx）exm，则，当时，所以，所以，故函数h（x）在区间上单调递增，又（1+cosx）exm0在区间上有且仅有一个实根，所以函数h（x）在区间上只有一个零点，所以由零点存在性定理，可得，解得，所以m的取值范围是故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若二项式（nN*）的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是 84解：二项式（nN*）的展开式的通项公式为 Tr+1，展开式中第5项与第6项的系数相同，n9，故令90，求得r6，可得其常数项是为84，故答案为：8414南宋著名数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法中首次提出“杨
16、辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前n项和为Sn，若数列an满足an2log2（Sn+1）1，则a20214041解：每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且第一行的数字之和为1，第二行的数字之和为2，第三行的数字之和为4，该等比数列的首项为1，公比为2，则an2log2（Sn+1）12log22n12n1，a20212202114041故答案为：404115中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若椭圆与双曲线的离心率分
17、别为e1，e2，且，|PF1|8，则e22解：设椭圆与双曲线的标准方程为+1，1（a1，a2，b1，b20，a1b1），焦距为2c（c0），由于PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，且|PF1|8，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a1，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a2，所以2a18+2c，2a282c，即a1c+4，a24c（c4），所以a1a22c（c4），两边同时除以c，可得2，又e1，解得e22，故答案为：216如图，正四棱锥PABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积
18、的比值为解：如图，连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，过O作OHPE于H易知PO底面ABCD，设AB4，则，设球M的半径为R，半球O的半径为R0.则易知R0OH则，故故答案为：三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）求sinB；（）若，b2（）求的值；（）求ABC的面积解：（）由得，由余弦定理得，且B（0，），；（）（）由正弦定理知，又ab，；（）由b2a2+c22accosB，即c2+2c1，解得（舍去负根），ABC的
19、面积18中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）关注没关注合计男女合计附：P（K2k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879，其中na+b+c+d（1）完成上面的22列
20、联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对嫦娥五号关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望解：（1）22列联表如下： 关注没关注合计男 30 3060女 12 28 40合计 4258 100所以3.9413.841，所以有95%的把握认为“对嫦娥五号关注程度与性别有关”；（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，又因为XB（3，），所以随机变量X的分布列为：X0 12 3 P 故E（X）np19在三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC上一点，E是BC1的中点，且
21、DE平面ABB1A1（1）证明：DADC；（2）若BB1平面ABC，平面ABB1A1平面BCC1B1，AA1ACAB，求直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值【解答】（1）证明：连结CB1，AB1，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以C，E，B1三点共线，且E是CB1的中点，因为平面AB1C平面ABB1A1AB1，又DE平面ABB1A1，且DE平面AB1C，所以DEAB1，所以D是CA的中点，即DADC；（2）解：因为BB1平面ABC，所以BB1BA，BB1BC，因为平面ABB1A1平面BCC1B1BB1，所以ABC即为二面角ABB1C的平面角，因为平面ABB1A1平面BCC1B1，所以A
22、BC90，故BA，BC，BB1两两垂直，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为，ABC90，所以BABC，设AC2，则，所以，设平面A1BC1的法向量为，则，即，令，则，故，所以，故直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值为20已知点M是抛物线C1：yx2的准线上的任意一点，过点M作C1的两条切线MP，MQ，其中P，Q为切点（1）证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标；（2）若直线PQ交椭圆C2：+1于A，B两点，求的最小值解：（1）证明：根据题意，设M（t，1），P（x1，y1），Q（x2，y2），由yx2，求导得yx，所以切线MP的方程为yy1（xx1），又y1x12，所以MP的方
23、程可化为x1x2（y+y1），同理，切线MQ的方程为x2x2（y+y2），因为上述两条直线都过点M，把M的坐标代入两方程，得tx12y1+20和tx22y2+20，这两个方程说明点P，Q都在直线tx2y+20上，而此直线过定点（0，1），所以直线PQ过定点（0，1）（2）设直线PQ的方程为ykx+1（k总存在），A（x3，y3），B（x4，y4），联立方程组，消去y，得x24kx40，116（1+k2）0，所以x1+x24k，x1x24，所以|PQ|x1x2|4（k2+1），联立，消去y，得（5+4k2）x2+8kx160，2645（1+k2）0，所以x3+x4，x3x4，所以|AB|x3x4
24、|，所以k2+，所以的最小值为21已知函数f（x）lnx+（aR且a0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a2时，若关于x的方程f（x）m有两个实数根x1，x2，且x1x2，求证：x1+x21解：（1）由，得，讨论：当a0时，f（x）0对任意的x（0，+）成立，当a0时，令f（x）0，得；令f（x）0，得，综上，当a0时，函数f（x）在区间（0，+）上单调递增；当a0时，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增（2）证明：当a2时，方程f（x）m即为根据题意，得，两式相减，得，即，故，令，则，设，则，因为0t1，所以h（t）0，所以h（t）在区间（0，1）上单调递增又当t1时，所以
25、当t（0，1）时，h（t）0，即所以当t（0，1）时，即x1+x21【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）求曲线C与直线l的普通方程；（）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M（，0），求|PM|2+|QM|2的值解：（）由（k为参数），消去参数k，可得曲线C的普通方程为y22x，由，得，即，直线l的直角坐标方程为x+y；（）由题意可得直线l的参数方程为（t为参数），
26、代入y22x，得设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则，|PM|2+|QM|2选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|2|xb|（a0，b0）（1）当ab1时，解不等式f（x）0；（2）若函数g（x）f（x）+|xb|的最大值为2，求的最小值解：（1）当ab1时，f（x）|x+1|2|x1|，当x1时，f（x）（x+1）+2（x1）x30，x3，无解，当1x1时，f（x）（x+1）+2（x1）3x10，x1，当x1时，f（x）（x+1）2（x1）x+30，1x3，综上所述：不等式f（x）0的解集为（，3）（2）g（x）|x+a|2|xb|+|xb|x+a|xb|，|x+a|xb|（x+a）（xb）|a+b|，g（x）max|a+b|2，a0，b0，a+b2，+（+）（a+b）（+5）（2+5），当且仅当，即b2a时取等号，+的最小值为
