1、5.2平面向量的数量积及其应用创新篇守正出奇创新利用解析几何思维解决向量问题1.(2022届四川资阳11月联考,10解法创新)已知e为单位向量,向量a满足(a-e)(a-5e)=0,则|a|的最大值为()A.3B.4C.5D.6答案C设e=(1,0),O(0,0),OA=a=(x,y),则a-e=(x-1,y),a-5e=(x-5,y).(a-e)(a-5e)=0,(x-1)(x-5)+y2=0,即(x-3)2+y2=4,即点A的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆,而|a|=x2+y2表示点A(x,y)到原点O(0,0)的距离,所以|a|max=3+2=5,故选C.2.(2022届山东烟台
2、莱州一中开学考,6设问创新)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+(AB+AC),0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案C如图所示,在ABC中,D为边BC的中点.因为AB+AC=2AD,所以OP=OA+2AD.因为OP=OA+AP,所以AP=2AD,所以APAD,所以点P的轨迹一定通过ABC的重心,故选C.3.(2022届人大附中开学考试,6)点M是边长为2的正六边形ABCDEF内及边界上一动点,则ABAM的最大值与最小值之差为()A.2B.4C.6D.8答案D如图,以AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角
3、坐标系,则A(0,0),B(2,0),AB=(2,0),设M(x,y),AM=(x,y),在AEF中,AF=EF=2,AFE=120,AE=23,F(-1,3),C(3,3),所以x-1,3,y0,23,AB=(2,0),AM=(x,y),ABAM=2x-2,6,所以ABAM的最大值与最小值之差为8.4.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,7素材创新)将一条线段AB分割成两条线段AP、BP(APBP),若PBAP=APAB=5-12,则称这种分割为黄金分割P为黄金分割点,5-12为黄金分割比.黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在ABC中,点D为线段BC的黄金分割点(BDDC),AB=2,AC=3,BAC=60,则ADBC=()A.75-92B.9-752C.95-72D.7-952答案A由点D为线段BC的黄金分割点,得BD=5-12BC=5-12AC-5-12AB,所以AD=AB+BD=5-12AC+3-52AB,所以ADBC=5-12AC+3-52AB(AC-AB)=5-12AC2-3-52AB2+(2-5)ABAC=952-92-6+25+(2-5)2312=75-92,故选A.
