1、2 月 26 日理科数学抗击“新冠”温馨提示：1.勤洗手，少出门，出门戴口罩，保持家里干净，通风让空气流通。2.适当运动，保持锻炼，增强身体免疫力。3.合理安排学习与生活，停课不停学！几何概型1几何概型如果事件发生的概率只与构成该事件区域的_长度(面积或体积)_成比例，而与 A 的形状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个特点一是_无限性_，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是_等可能性_，即每一个基本事件发生的可能性是均等的因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基
2、本事件所占的_图形面积(体积、长度)_”与“试验的基本事件所占的_总面积(总体积、总长度)_”之比来表示3在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式P(A)_构成事件 A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积_.4几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)随
3、机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()解析(1)正确由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确(2)错误虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等(3)正确由几何概型的定义知，该说法正确(4)正确由几何概型的定义知，该说法正确2在区间(15,25内的所有实数中随机抽取一个实数 a，则这个实数满足 17a20 的概率是(C)A13B12C 31
4、0D 710解析 a(15,25，P(17a20)20172515 310.3有一杯 2 L 的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从水中取 0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率为(C)A0.01B0.02C0.05D0.1解析 因为取水是随机的，而细菌在 2 L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为 P0.12 0.05.4已知 x 是4,4上的一个随机数，则使 x 满足 x2x20 的概率为(B)A12B38C58D0解析 x2x202x1，则 P124438.5某路公共汽车每 5 min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过 3 min 的
5、概率是(A)A35B45C25D15解析 此题可以看成向区间0,5内均匀投点，求点落入2,5内的概率设 A某乘客候车时间不超过 3 min则 P(A)构成事件 A 的区域长度试验的全部结果构成的区域长度35.一与长度、角度有关的几何概型(1)设线段 l 是线段 L 的一部分，向线段 L 上任投一点，点落在线段 l 的概率为 Pl 的长度L 的长度.(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段【例 1】(1)(2017江苏卷)记函数 f(x)6xx2的定义域为 D.在区间4,5上随机取一个数 x，则 xD 的概率
6、是59.(2)(2016全国卷)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是(B)A13B12C23D34解析(1)由 6xx20，解得2x3，则 D2,3，则所求概率为325459.(2)由题意得图：由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为12.二与面积有关的几何概型与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件 A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合【例 2】(1)在区间1,1内随机取两个实数 x，y，则满足 yx21 的概率是(D
7、)A29B79C16D56(2)(2017全国卷)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(B)A14B8C12D4解析(1)如图满足 yx21 的概率为阴影部分面积与正方形面积的比，错误!1(x21)dx错误!(2x2)dx 2x13x3|11103，,P1034101256.,(2)不妨设正方形的边长为 2，则正方形的面积为 4，正方形的内切圆的半径为 1，面积为.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为2，故此点取自黑色部分
8、的概率为248，故选 B,三与体积有关的几何概型,对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求【例 3】(1)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_1 12_.(2)在体积为 V 的三棱锥 SABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 SAPC 的体积大于V3的概率是_23_.解析(1)正方体的体积为 2228，以 O 为球心，1 为半径且在正方体内部的半球的体
9、积为1243r312431323，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为：12381 12.(2)由题意知VSAPCVSABC13，三棱锥 SABC 的高与三棱锥 SAPC 的高相同作 PMAC于 M，BNAC 于 N，则 PM，BN 分别为APC 与ABC 的高，所以VSAPCVSABCSAPCSABCPMBN13，,又PMBNAPAB，所以APAB13，故所求的概率为23(即为长度之比)1把半径为 2 的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为 2 的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为(A)A41B2C412D12解析 这是一道几何概型概率计算问题星形弧半径为
10、 2，所以点落在星形内的概率为 P22224 1222 242241，故选 A2在区间1,1上随机取一个数 x，使 cos x2 的值介于 0 到12之间的概率为(A)A13B2C12D23解析 在区间1,1上随机取一个数 x，试验的全部结果构成的区域长度为 2.1x1，22x2.由 0cos 2x12，得32x2或22x3，23x1 或1x23.设事件 A 为“cos 2x 的值介于 0 到12之间”，则事件 A 发生对应的区域长度为23.P(A)23213.3在区间2,2上随机取一个数 x，使|x1|x1|1 成立的概率为_58_.解析 在区间2,2上随机取一个数 x，则2x2，而不等式|
11、x1|x1|1 的解集为 x12.又因为2x2，故2x12，所以使不等式成立的概率为 P1222258.4如图，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为_13_.解析 根据题意，可以求得阴影部分的面积为S错误!(xx2)dx23x3213x3|1013，,故该点落在阴影部分的概率为 P13113.易错点几何概型概念不清,错因分析：对事件中的几何元素认识不清晰，导致解题错误【例 1】(1)在等腰 RtABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，则 AMAC 的概率为_(2)在等腰 RtABC 中，过直角顶点 C 在ACB 内部作一条射线 CM，与线段 AB 交于点
12、M，则 AMAC 的概率为_解析(1)这是一个与长度有关的几何概型问题，在 AB 上截取 ACAC，于是 P(AMAC)P(AMAC)ACABACAB 22.(2)这是一个与角度有关的几何概型问题，在 AB 上截取 ACAC，则ACC18045267.5，而ACB90，于是 P(AMAC)P(AMAC)67.590 34.答案(1)22(2)34【跟踪训练 1】(2016山东卷)在1,1上随机地取一个数 k，则事件“直线 ykx 与圆(x5)2y29 相交”发生的概率为_34_.解析 直线 ykx 与圆(x5)2y29 相交的充要条件为|5k0|1k23，解之得34k34，,故所求概率为 P3
13、4 341134.课时达标一、选择题1在区间2,3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为()A45B35C25D152设 p 在0,5上随机地取值，则关于 x 的方程 x2px10 有实数根的概率为()A15B25C35D453在区间0,2上任取一个数 x，则使得 2sinx1 的概率为()A16B14C13D234如图所示，半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是()A3BC2D35(2018北京昌平模拟)设不等式组x2y20，x4，y2表示的平面区域为 D.在区域 D内随机取一个点，则此点到直线 y20 的距离大
14、于 2 的概率是()A 413B 513C 825D 9256(2016全国卷)从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A4nmB2nmC4mnD2mn二、填空题7正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 MABCD的体积小于16的概率为_.8记集合 A(x，y)|x2y24和集合 B(x，y)|xy20，x0，y0表示的平面区域分别为1 和2，若在区域1 内任取一点 M(
15、x，y)，则点 M 落在区域2 的概率为_.9在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是_.三、解答题10甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为 4 小时，乙船的停泊时间为 2 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率11已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为 0 的小球 1 个，标号为 1的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率
16、是12.(1)求 n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b.记“2ab3”为事件 A，求事件 A 的概率；在区间0,2内任取 2 个实数 x，y，求事件“x2y2(ab)2 恒成立”的概率12甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 15，边界忽略不计)即为中奖乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是 2 个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
