1、第1课时 导数与函数性质 考情分析 总纲目录 考点一 导数的几何意义 考点二 利用导数研究函数的单调性 考点三 利用导数研究函数的极值(最值)1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).第1课时 导数与函数性质 考点一 导数的几何意义 2.四个易错导数公式(1)(sin x)=cos x;(2)(cos x)=-sin x;(3)(ax)=axln a(a0且a1);(4)(logax)=(a0且a1).1lnxa典型例题 (1)(201
2、7课标全国,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 .(2)(2017云南第一次统考)已知函数f(x)=axln x+b(a,bR),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b=.1x答案(1)x-y+1=0(2)4解析(1)y=x2+,y=2x-,y|x=1=2-1=1,所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.(2)由题意,得f(x)=aln x+a,所以f(1)=a,因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以a=2,又f(1)=b,则21-b=0,所以b=2,故a+b=4.1x21x方法归纳求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型
3、及方法(1)已知切点P(x0,y0),求切线方程求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程;(2)已知切线的斜率k,求切线方程设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程;(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.跟踪集训 1.(2017广东广州综合测试(一)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)
4、或(-1,1)答案D 由题意知,f(x)=3x2+2ax,所以曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率为f(x0)=3+2ax0,又切线方程为x+y=0,所以x00,且 解得 或 所以当 时,点P的坐标为(1,-1);当 时,点P的坐标为(-1,1),故选D.20 x20032000321,0,xaxxxax 02,1ax 02,1,ax 01,2xa 01,2xa 2.(2017四川成都第二次检测)若曲线y=f(x)=ln x+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是()A.B.C.(0,+)D.0,+)1,21,2答案Df(x)=+2ax=(x0),根据
5、题意有f(x)0(x0)恒成立,所以2ax2+10(x0)恒成立,即2a-(x0)恒成立,所以a0,故实数a的取值范围为0,+).故选D.1x221axx21x3.(2017四川成都第一次检测)已知曲线C1:y2=tx(y0,t0)在点M 处的切线与曲线C2:y=ex+1+1也相切,则t的值为()A.4e2 B.4e C.D.4,2t2e4e4答案A 由y=,得y=,则切线斜率为k=,所以切线方程为y-2=.即y=x+1.设切线与曲线y=ex+1+1的切点为(x0,y0).由y=ex+1+1,得y=ex+1,则由=,得切点坐标为,故切线方程又可表示为y-1=,即y=x-ln+1,所以由题意,得
6、-ln+1=1,即ln=2,解得t=4e2,故选A.tx2ttx4t4t4xt4t0 1ex 4tln1,144tt4t4tln14tx4t4t4t2t4t4t2t4t考点二 利用导数研究函数的单调性 导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增,但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f(x)=0时,则f(x)为常数函数,函数不具有单调性.典型例题(2017课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求
7、a的取值范围.解析(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln.当x 时,f(x)0.故f(x)在 单调递减,在 单调递增.(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a2ln a0,即a1时
8、,f(x)0.若a0).(1)当m=1时,求曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上的单调性.1xx 解析(1)当m=1时,y=f(x)g(x)=,y=,x=1时,切线的斜率k=y|x=1=,又切线过点(1,0),所以切线方程为y=(x-1),即x-2y-1=0.(2)由已知得,F(x)=mln x-,所以F(x)=-=,当m0时,F(x)0时,令k(x)=mx2+(2m-1)x+m,=(2m-1)2-4m2=1-4m,当0,即m 时,k(x)0恒成立,此时F(x)0,函数F(x)在(0,+)上单ln1xxx2(1ln)(1)ln(
9、1)x xxxx2ln1(1)xxx12121xx mx21(1)x 22(1)(1)m xxx x22(21)(1)mxmxmx x14调递增,当0,即0m 时,方程mx2+(2m-1)x+m=0有两个不相等的实数根,设为x1,x2,并令x1x2,则 所以0 x11x2,其中x1=,x2=,此时,函数F(x)在(0,x1),(x2,+)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减.综上所述,当m0时,F(x)在(0,+)上单调递减;当0m0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在
10、(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.典型例题(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,aR.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析(1)由题意f(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f(x)=x2-2x,所以f(3)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-si
11、n x,所以g(x)=f(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x1312=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sin a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.当a
12、=0时,g(x)=x(x-sin x),当x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;16当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sin a.综上所述:当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是
13、g(a)=-a3-sin a.161616方法归纳利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值,则先求方程f(x)=0的全部实根,再检验f(x)在方程根的左右两侧值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)=0的根的大小或存在情况,从而求解.(3)求函数f(x)在闭区间a,b的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.跟踪集训(2017北京,20,13分)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.解析(1)
14、因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当x 时,h(x)0,所以h(x)在区间 上单调递减.0,20,20,2所以对任意x 有h(x)h(0)=0,即f(x)0且x1,f(x)=-+=,记g(x)=x2-(m+2)x+1,x0,且x1,要使函数f(x)在(e,+)上有极值点,则方程x2-(m+2)x+1=0有两个不同
15、的实根x1,x2,=-(m+2)2-40,解得m0或me,所以0 x1 e0,所以只需 即 解得me+-2.21mxmx(1)(1)(1)m xxx1mx 2(1)mx 1x22(2)1(1)xmxx x1e(e)0,10,egg 22e(2)e10,11(2)10,eemm 1e答案 1e2,e3.函数f(x)=x3+x2-3x-4在0,2上的最小值是 .13答案-173解析f(x)=x2+2x-3,令f(x)=0,得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-,f(2)=-,故f(x)在0,2上的最小值是f(1)=-.1731031734.若函数f(x)=-x3+x2+2ax在 上存在单调递增区间,则a的取值范围是 .13122,3答案 1,9解析 对f(x)求导,得f(x)=-x2+x+2a=-+2a.当x 时,f(x)的最大值为f =+2a,令+2a0,解得a-.所以a的取值范围是.212x142,3232929191,9
