1、专题3 和差化积-因式分解的方法（1） 阅读与思考 提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1换元法： 对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等 2拆、添项法： 拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是
2、相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解例题与求解 【例l】分解因式_（浙江省中考题） 解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构 【例2】观察下列因式分解的过程：（1）；原式；（2）原式第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）；（西宁市中考试题）（2）（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验失败再试验再失败直至成功”的过程 【例3】分解因式（1）；（重庆市竞赛题）（2）；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）（“五羊杯”
3、竞赛试题） 解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系 【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（ ） A B C D（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如341 【例5】分解因式：（1）；（扬州市竞赛题）（2）；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3） 解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略 【例6】分解因式： （河南省竞赛试题） 解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法能力训练A级1分
4、解因式：（1）_（泰安市中考试题）（2）_（威海市中考试题）2分解因式：（1）_；（2）_3分解因式：_4多项式与多项式的公因式是_5在1100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_个6将多项式分解因式的积，结果是（ ） A B C D7下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ） A B C D（“希望杯”邀请赛试题）8把分解因式，其中一个因式是（ ） A B C D9多项式有因式（ ） A B C D（“五羊杯”竞赛试题）10已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）A一定是奇数 B一定是偶数 C可为奇数也可为偶数 D一定是负数11分解因式：（1）
5、；（2）；（3）； （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）； （重庆市竞赛试题）（5）；（6）12先化简，在求值：，其中 ，B级1分解因式：_ （重庆市竞赛试题）2分解因式：_（“五羊杯”竞赛试题）3分解因式：_（“希望杯”邀请赛试题）4分解因式：_（“五羊杯”竞赛试题）5将因式分解得（） A B C D（陕西省竞赛试题）6已知是ABC三边的长，且满足，则此三角形是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D不能确定7的因式是（ ） A B C D E. （美国犹他州竞赛试题）8分解因式：（1）； （湖北省黄冈市竞赛试题）（2）； （江苏省竞赛试题）（3）； （陕西省中考试题）（4）； （“
6、祖冲之杯”邀请赛试题）（5）； （“五羊杯”竞赛试题）（6） （太原市竞赛试题）9已知乘法公式：利用或者不利用上述公式，分解因式： （“祖冲之杯”邀请赛试题）10分解因式：（1）；（2）；（3）11对方程，求出至少一组正整数解（莫斯科市竞赛试题）12已知在ABC中，求证：（天津市竞赛试题）专题03 和差化积-因式分解的方法(1)例1. 例2. (1) 原式 (2) 原式例3.(1) (2) (3) 例4. D例5.(1) 提示: 原式(2) 提示: 原式(3) 提示: 原式例6. 解法1 原式 解法2 原式 A级1. (1) (2) 2. (1) (2) 3. 4. 5. 96. D7. A8. D9. A10. A11. (1) 提示: 令 (2) (3) (4) 提示: 原式 (5) 提示: 原式 (6) 12. 原式 当原式B 组1. (1) (2) 3. 5. D6. B7. A 提示: 原式8. (1) (2) 提示: 令 (3) (4) 提示: 原式 (5) (6) 9. 由公式有 10. (1) (2) (3) 11. 有或 解得 或12. 是三角形三边长, 由条件只有,故