1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算3.1.5 空间向量运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养 1掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直(重点)2掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(重点、难点)1通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养2借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养自 主 预 习 探 新 知 1空间向量运算的坐标表示 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示 加
2、法ab_减法ab_ 数乘a_数量积ab_ a1b1a2b2a3b3(a1，a2，a3)，R(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)2空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则平行(ab)ab(b0)ab 垂直(ab)abab0(a，b均为非零向量)模|a|aa 夹角公式 cosa，b ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23a1b1，a2b2，Ra3b3a1b1a2b2a3b30a21a22a23思考：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 ab一定有a1b1a2b
3、2a3b3成立吗？提示 当b1，b2，b3均不为0时，a1b1a2b2a3b3成立3向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)AB_；(2)dAB|AB|_(a2a1，b2b1，c2c1)a2a12b2b12c2c121已知向量a(3,2,5)，b(1,5，1)，则4a2b等于()A(10，18，18)B(10,18,18)C(14，2,22)D(14,2，22)B 4a(12,8,20)，2b(2,10，2)，4a2b(10,18,18)2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k()A1 B1
4、5C35 D75D kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k753若A(1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则mn_3 AB(3，1,1)，AC(m1，n2，2)A，B，C三点共线，存在实数，使得ACAB 即(m1，n2，2)(3，1,1)(3，)，m13，n2，2，解得2，m7，n4 mn34已知a(2，2，3)，b(3 2，6,0)，则|a|_，a与b夹角的余弦值等于_3 69|a|2222 32 93，cosa，b ab|a|b|6123 3 2262 69 合 作 探 究 释 疑 难 空间向量的坐标运算【例1】
5、(1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件(ca)2b2，则x_(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标；OP 12(ABAC)；AP12(ABAC)(1)2 ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2得2(1x)2，解得x2(2)解：AB(2,6，3)，AC(4,3,1)OP 12(ABAC)12(6,3，4)3，32，2，则点P的坐标为3，32，2 设P(x，y，z)，则AP(x2，y1，z2)AP12(ABAC)3，32，2，x23，y132，z22，解得x
6、5，y12，z0，则点P的坐标为5，12，0 1一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2跟进训练1已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab)解(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)(3)ab(2，1，2)(0，1
7、,4)20(1)(1)(2)47(4)2a(4，2，4)，2a(b)(4，2，4)(0,1，4)40(2)1(4)(4)14(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题【例2】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3 B1P PD1，若PQAE，BD DQ，求的值思路探究：建立坐标系得各点的坐标利用平行与垂直得 解 如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1
8、,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3B1P PD1，所以3(a1，a1,0)(a，a,0)，所以3a3a，解得a34，所以点P的坐标为34，34，1 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQAE，所以PQ AE0，所以b34，b34，1 1，0，12 0，即b34 120，解得b14，所以点Q的坐标为14，14，0，因为BD DQ，所以(1，1,0)14，14，0，所以41，故4向量平行与垂直问题主要有两种题型：1平行与垂直的判断；2利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：适当引入参数比如向量a，b平行，可设ab，建立关于
9、参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.跟进训练2已知空间向量a(1,2，3)，b(2，4，x)，c(4，y,6)(1)若ma，且|m|2 7，求向量m；(2)若ac，求实数y的值；(3)若(2ab)(a3b)，求实数x的值解(1)由于ma，可设ma(1,2，3)(，2，3)因为|m|2 7，所以 222322 7，即22，解得 2 故m(2，2 2，3 2)或m(2，2 2，3 2)(2)因为ac，所以ac0，即42y180，解得y11(3)由已知得2ab(4,8，6x)，a3b(5，10,3x3)，而(2ab)(a3b)，所以45 8106x3x3，解得x6 空间向量夹角与长度
10、的计算 探究问题1已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少？提示 Px1x22，y1y22，z1z22 2设异面直线AB，CD所成的角为，则cos cos AB，CD 一定成立吗？提示 当cosAB，CD 0时，cos cosAB，CD，当cosAB，CD 0，则()A2 B3C4D5B ab(0，1,1)(4,1,0)(4,1，)，由已知得|ab|42122 29，且0，解得32已知点A(1,3,1)，B(1,3,4)，若 AP 2 PB，则点P的坐标是_(1,3,3)设点P(x，y，z)，则由AP 2PB，得(x1，y3，z1)2(1x,3y,4z
11、)，则x122x，y362y，z182z，解得x1，y3，z3，即P(1,3,3)3若a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_65 ab2(2)31(1)34，|a|14，|b|14，cosa，b414 1427 sina，b12723 57 因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a|b|sina，b14 143 57 6 54已知向量a(1,2，2)，b(2，4,4)，c(2，x，4)(1)判断a，b的位置关系；(2)若ac，求|c|；(3)若bc，求c在a方向上的投影的长解(1)因为a(1,2，2)，b(2，4,4)，所以b2a，所以ab(2)因为ac，所以21x242，解得x4 所以c(2,4，4)，从而|c|2242426(3)因为bc，所以bc0，即(2，4,4)(2，x，4)44x160，解得x5，所以c(2，5，4)所以c在a方向上的投影的长为|c|cosa，c|c|ac|a|c|122524122222 210830点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
