1、导数及其应用山东 杨道叶 一、应试策略 高考对导数部分的考查，重点是导数的应用，而导数概念和导数计算是导数应用的基础，复习时应注意以下几点： 1导数概念通过解题达到全面理解； 2熟记求导公式和运算性质，能准确计算给定函数的导数； 3认真研究不超过三次的多项式函数的切线问题、单调性、极值和最值； 4对导数及应用的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和有关不等式和函数的单调性等内容有机地结合在一起设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加
2、强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法。 二、范例剖析 例1 设函数的图象与轴的交点为，且曲线在点处的切线方程为。若函数在处取得极值0，试确定函数的解析式。 分析：本题主要考查导数的几何意义及函数极值的判断方法。 解析：的图象与轴的交点为，点的坐标为。又曲线在点处的切线方程为，点的坐标满足此方程，将代入后得，又切线斜率，函数在处的导数，而，。函数在处取得极值0，且，故得以下关系： ， 由解得， 。 评注：题中涉及四个未知参数，题设中有四个独立的条件，因此通过解方程组来确定参数，的值是可行的途径，要注意运用点在曲线上这一关键的隐含条件。
3、 例2 若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围。 分析：本小题主要考查导数的公式和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力。 解析：， 令，解得或。 当即时，函数在上为增函数，不合题意。 当即时，函数在上为增函数，在内为减函数，在上为增函数。依题意有 当时， 当时， ，解得。故实数的取值范围为。 评注：利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意（或）仅是在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件应是（或），恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0。 例3 设函数分别在、处取得极小值、极大值。平面上点、的坐标分别为（，）、（，），该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点。 求（1）点、的坐标； （2）动点的轨迹方程。 分析：本题体现了高考重视对新增内容的考查以及常在知识交汇处设计问题的思想。 解析：（1）令， 解得或。 当时，；当时，；当时，。 函数在处取得极小值，在处取得极大值，故，。点、的坐标为、。 （2）设，。 又的中点在上， 消去、得。 评注：将向量、极值、解析几何相联系，综合性强，难度较大，应引起足够重视。
