1、38共面与平行读教材填要点1共面(1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面(2)A，B，C，D共面直线AD在平面ABC内n(其中n为平面ABC的法向量)2直线与平面共面或平行的判定一般地，设n是平面的一个法向量，v是直线l的方向向量，则vnl或l.如果vn且l上至少有一点A，则l.如果vn且l上至少有一点A，则l.小问题大思维若直线l的方向向量为u(3,4,2)，平面的一个法向量为v(2,2，1)，那l与的位置关系是什么？提示：uv(3,4,2)(2,2，1)6820，uv.l或l.四点共面问题 判断A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)四点是否
2、共面，并说明理由自主解答A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，(3,4,5)，(1,2,2)设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则n0，且n0，即xz0.令x1，则z1，y，n.又D(10,14,17)，(9,14,16)，n(9,14,16)9114160，n.又A平面ABC，AD平面ABC，A，B，C，D四点共面(1)A，B，C，D共面直线AD在平面ABC内n.(2)(共面向量定理)如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式xy成立1空间直角坐标系中，已知A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，P(x，y
3、，z)是平面ABC内任意一点，试求x，y，z满足的方程解：A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，(3,4,0)，(3,0,2)设n(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则n0，且n0，令x14，则y13，z16，即n(4,3,6)又P(x，y，z)在平面ABC内，n0，即(x3，y，z)(4,3,6)0，4x123y6z0，即4x3y6z12.证明线面平行、面面平行 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.自主解答如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(
4、2,0,0)，E(2,2,1)，C1(0,2,2)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)(1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量则n2，n2，即得令z22得y21，所以n2(0，1,2)因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
5、二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行2.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDE.证明：建立如图所示的空间直角坐标系设ACBDN，连接NE，则点N，E的坐标分别是，(0,0,1).又点A，M的坐标分别是(，0)，.，且ANE，NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D
6、1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，于是，(1,0,1)得2，又MDA1，DA1MN.而MN平面A1BD，MN平面A1BD.法二：如法一中的坐标系，B(1,1,0)设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)，则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n.又MN平面A1BD.MN平面A1BD.法三：()，.而MN平面A1BD，MN平面A1BD.点评证明线面平行的方法很
7、多，要根据题目的条件选取适合的方法，具体地有两种思维，思路一是利用线面平行的判定定理(向量共线)；思路二是证明直线与平面的法向量垂直(向量垂直)1设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()AlBlClDl或l解析：当ab0时，l或l.答案：D2已知直线l的方向向量为a，平面内两共点向量，下列关系中能表示l的是()Aa BakCap D以上均不能解析：A、B、C均能表示l或l.答案：D3已知线段AB的两端点的坐标为A(9，3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()AxOy平行BxOz平行CyOz平行DxOy和yOz都平行解析：A，B两点横坐标相同，AB与yOz平面平行答
8、案：C4已知直线l的方向向量为(1，1,2)，平面的法向量为n(2,4,1)，且l，则l与的位置关系是_解析：因为n2420，所以n.又l，所以l.答案：l5已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为(2,1,4)，则m_.解析：l，22m1140.m8.答案：86已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，CD1的中点，ADAA1a，AB2a.求证：MN平面ADD1A1.证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0,0)，B(a,2a,0)，C(0，2a,0)，D1(0,0，a)，E .M，N分别为AE，CD1的中点，M，N .取n(0,1
9、,0)，显然n平面ADD1A1，且n0，n.又MN平面ADD1A1，MN平面ADD1A1.一、选择题1下面关于空间向量的说法正确的是()A若向量a，b平行，则a，b所在直线平行B若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面C若A，B，C，D四点不共面，则，不共面D若A，B，C，D四点不共面，则，不共面解析：通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B、C都不正确注意向量平行与直线平行的区别，可知A不正确，可用反证法证明D是正确的答案：D2已知直线l的一个方向向量为a(2,0,1)，平面的一个法向量为b(2，1,4)，则直线l与平面的位置关系是()AlBlC
10、l与相交Dl或l解析：ab(2,0,1)(2，1,4)4040，ab，l或l.答案：D3若平面，的法向量分别为a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，则x的值为()A10B10C.D解析：，ab，x.答案：C4.如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，|A1B|AC|a，所以，所以，所以， ，共面，因为MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.答案：B二、填空题5直线l不在平面ABC内，且l上两点C，D满足12，则直
11、线l与平面ABC的位置关系是_答案：平行6若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，(2,3,8)，则平面，的位置关系是_(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)解析：u(1,2，1)(2,3,8)1223180，u，.答案：垂直7已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为a(1,3，z)，向量b(3，2,1)与平面平行，则z_.解析：l，b，ab，ab(1,3，z)(3，2,1)0，即36z0，则z3.答案：38已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心则平面EFG与平面HMN的位置关系为_解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱
12、长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2，1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)(0，1,1)，(1,0,1)，(0,1，1)， (1,0，1)设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面EFG和HMN的法向量由得令x11，得m(1，1，1)；由得令x21，得n(1，1，1)mn.即mn.平面EFG平面HMN.答案：平行三、解答题9在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点证明：PA平面EDB.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接AC交BD于G，连接EG.设DCa，依题意得A(a,0,0)，P
13、(0,0，a)，E.底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为.(a,0，a)，.故2，这表明PAEG.而EG平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)再设Q(0,2，c)(1，1,0)，(1，1，1)，(2,0，c)，(2，2,2)设平面PAO的法向量为n1(x，y，z)，则令x1，则y1，z2，平面PAO的一个法向量为n1(1,1,2)若平面D1BQ平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量n10，即22c0.c1，这时n12240，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.
