1、椭圆、双曲线命题点1椭圆、双曲线的定义与标准方程利用定义求解圆锥曲线的标准方程要做到“两要素、一结合”(1)两个要素：一是等式，二是条件椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为()A1 B1C1 D1B因为AF2B是边长为4的等边三角形，所以AF2F130，2a|AF1|AF2|246，2c|F1F2|AF1|2，所以b2a2c2936，所以椭圆的方程为1，故选B3(2020濮阳一模)已知P为圆C：(x5)2y236上任意一点，A(5
2、,0)，若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则Q点的轨迹方程为()A1 B1C1(x0)B由点Q是线段AP垂直平分线上的点，|AQ|PQ|.又|QA|QC|PC|6|AC|10，满足双曲线定义且a3，c5，b4，轨迹方程：1.故选B4(2020桂林联考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程y2x，且点P为双曲线右支上一点，且F1，F2为双曲线左右焦点，F1F2P的面积为4，且F1PF260，则双曲线的实轴的长为()A1 B2 C4 D4B双曲线1的渐近线方程为yx，由一条渐近线方程为y2x，可得b2a，由双曲线定义有|PF1|PF2|2a，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1
3、|PF2|4a2由余弦定理，有|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即为|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|4c2由可得|PF1|PF2|4c24a24b2，F1F2P的面积为4，可得|PF1|PF2|sin 604b2b24，解得b2，a1，所以实轴长2a2，故选B5椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为_1椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，设椭圆方程为1(ab0)P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，且a2b2c2，解得a
4、2，b，c，椭圆方程为1.6(2020重庆期末)已知动圆E与圆A：(x4)2y22外切，与圆B：(x4)2y22内切，则动圆圆心E的轨迹方程为_1(x)由圆A：(x4)2y22，可得圆心A(4,0)，半径r1；由圆B：(x4)2y22可得圆心B(4,0)，半径r2.设动圆的半径为R，由题意可得|EA|R，|EB|R.|EA|EB|224.由双曲线的定义可得：动圆的圆心E在以定点A(4,0)，B(4,0)为焦点的双曲线的右支上a，c4，b2c2a214.动圆圆心E的轨迹方程为1(x)7设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_1
5、5因为椭圆1中，a5，b4，所以c3，得焦点为F1(3,0)，F2(3,0)根据椭圆的定义，得|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)10(|PM|PF2|)因为|PM|PF2|MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，此时|PM|PF1|的最大值为10515.教师备选1设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A B C DD如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，所以.2椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是
6、()A B C DC如图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大此时|MN|，又c1，所以此时FMN的面积S2.故选C命题点2椭圆、双曲线的几何性质1求解椭圆或双曲线的离心率问题的常用方法(1)直接求出a，c的值，利用e求解(2)直接求出a，b的值，利用e(椭圆)或e(双曲线)求解(3)构造关于a，c的齐次方程，再利用e转化成关于e的一元二次方程求解2双曲线渐近线的四个常用结论(1)双曲线1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为定值b；(2)由双曲线1(a0，b0)求渐近线方程，只需方程右边的常数1变
7、成0，即令0便可；(3)由双曲线的一条渐近线方程yx求双曲线方程可设(0)即可；(4)双曲线1(a0，b0)的渐近线yx的斜率k同离心率e的关系：e.高考题型全通关1已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2xD设双曲线C的方程为1(a0，b0)，则由题意得c.双曲线C的渐近线方程为yx，即bxay0，所以2，又c2a2b25，所以b2，所以a1，所以双曲线C的渐近线方程为y2x，故选D2以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B C2 D2D设a，b，c分别为椭圆的长半
8、轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，2cb1bc1,2a222，当且仅当bc1时，等号成立故选D3设双曲线C：1(a0，b0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为yx，则双曲线C的方程为()A1 B1C1 Dx21A由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b4，即b2.又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为yxx，可得a4，所以双曲线C的方程为1，故选A4(2020东莞市模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(xc)2y22a2截得的弦长为2b(其中c为双曲线的半焦距)，则双曲线C的离心率为()A B C D2B如图所示，双曲线的两条渐近线关于x轴对称，取yx与圆相交于点A，B，|A
9、B|2b，圆心(c,0)到直线bxay0的距离db.结合垂径定理可得2a2b2b2，即ab.双曲线为等轴双曲线，其离心率e.故选B5已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A BC DBF1，F2是椭圆1(a0，b0)的左、右两个焦点，F1(c,0)，F2(c,0)，c2a2b2.设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e1.6若三个点(2,1)，(2,3)，(2，1)中恰有两个点在双曲线C：y21(a0)上，则双曲线
10、C的渐近线方程为_yx由于双曲线的图象关于原点对称，故(2,1)，(2，1)在双曲线上，代入方程解得a.又因为b1，所以渐近线方程为yx.7若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_32，)由题意，得22a21，即a，设P(x，y)，x，(x2，y)，则(x2)xy2x22x1，因为x，所以的取值范围为32，)8一题两空已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_12如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线
11、N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为yx，.设mk，则nk，则双曲线N的离心率e22.连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得F1CF290，CF1F230.设椭圆的焦距为2c，则|CF2|c，|CF1|c，再由椭圆的定义得|CF1|CF2|2a，即(1)c2a，椭圆M的离心率e11.教师备选1已知双曲线M：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，2c.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为()A BC(1,2) DA根据正弦定理可知，因为，所以，即|PF2|PF1|，2a，所以2a，解得，
12、而ac，即ac，整理得3e24e10，解得e1，所以1eb0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与相交于A，B两点若3，则k()A1 B2 C DD设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3，所以y13y2.因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以a2b，设bt，则a2t，故ct，所以1.设直线AB的方程为xsyt，代入上述椭圆方程，得(s24)y22styt20，所以y1y2，y1y2，即2y2，3y，得s2，k，故选D4(2020深圳中学联考)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为()Ay21 B1C1 D1A
13、|AF2|3|BF2|，|AB|4|BF2|，又|BF1|5|BF2|，又|BF1|BF2|2a，|BF2|，|AF2|a，|BF1|a，|AF1|AF2|2a，|AF1|a，|AF1|AF2|，A在y轴上在RtAF2O中，cosAF2O，在BF1F2中，由余弦定理可得cosBF2F1，根据cosAF2OcosBF2F10，可得0，解得a22，b2a2c2211.所以椭圆C的方程为y21.故选A5.设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，B为椭圆的下顶点，P为过点F1，F2，B的圆与椭圆C的一个交点，且PF1F1F2，则的值为_设过F1，F2，B三点的圆的圆心为M，PF1F1F2，
14、 PF1是通径的一半，|PF1|.PF1是圆M中的一条弦，根据圆的对称性可知圆心的坐标M .|MB|2|MF1|2R2，c2，整理得ac2b3ab2，c2a2b2，a(a2b2)b3ab2，整理得b2aba20，10，解得(舍去负根)教师备选1(2020华南师大附中、广雅中学等四校联考)F是双曲线C：1的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2，则C的离心率是()A B C D2A由题意得|AF|b，|BF|2b，|AB|3b；|OA|a，因为x轴是AOB的角平分线，由平分线性质，结合|OA|a，得|OB|2a，因此(2a)2a2(3b)2a23b23(c2a
15、2)e2e，选A2已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆的离心率是()A B C DD因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以APPF1，又因为F2BAP，所以F2BBF1，又因为|F2B|BF1|，所以F1F2B是等腰直角三角形，因为|OB|b，|OF2|c，所以bc，|F2B|2c2b2a22c2，所以该椭圆的离心率e.3已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，以A为圆心，OA(O为坐标原点)为半径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若PF2PA，且|
16、PF1|2|PF2|，则双曲线C的离心率为()A1 B1 C DA由题意可得|OA|a，|AF2|ca，因为PF2PA，所以|PF2|.又因为点P在双曲线的右支上，所以|PF1|PF2|2a.因为|PF1|2|PF2|，所以|PF2|2a，因此2a，即c22ac4a2，所以e22e40，解得e1，因为e1，所以e1.4已知直线xy1与椭圆1(ab0)交于P，Q两点，且OPOQ(其中O为坐标原点)，若椭圆的离心率e满足e，则椭圆长轴的取值范围是()A， BC DA联立得(a2b2)x22a2xa2a2b20，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，4a44(a2b2)(a2a2b2)0，化为a2b
17、21.x1x2，x1x2.OPOQ，x1x2y1y2x1x2(x11)(x21)2x1x2(x1x2)10，210.化为a2b22a2b2.b2.椭圆的离心率e满足e，e2，1，化为54a26，解得 2a.满足0.椭圆长轴的取值范围是，5(2020武汉模拟)已知曲线C1：1(a1b0)与曲线C2：1(a20)有公共焦点，过它们的右焦点F作x轴的垂线与曲线C1，C2在第一象限分别交于点M，N.若(O为坐标原点)，则C1与C2的离心率之比为()A B C DA设曲线C1，C2的右焦点F(c,0)，则c2ab2ab2，因为(O为坐标原点)，可得，又MN是过右焦点F且垂直x轴的直线与两条曲线在第一象限
18、的交点，所以|FM|，|FN|，32，.故选A6(2020福建二模)已知圆M的圆心为双曲线C：1(a0，b0)虚轴的一个端点，半径为ab，若圆M截直线l：ykx所得的弦长的最小值为2b，则C的离心率为()A B C D2C由题意知，当ly轴时，圆M截直线ykx所得弦AB的长最小，此时|OA|b，|OM|b，|MA|2b，又圆M的半径|MA|ab，2bab，即ab，ca，则双曲线的离心率e.故选C8已知双曲线C：1(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为()A1 B2 C DB如图，
19、因为A为F1B的中点，所以，又因为B在圆上，所以0，故OAF1B，则F1B：y(xc)，联立解得B，则OB222c2，整理得b23a2，c2a23a2，即4a2c2，4，e2.故选B9. 已知椭圆1(ab0)的半焦距为c(c0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2(ac)x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是()A B C DD由题意得A(a,0)，F(c,0)，抛物线y2(ac)x与椭圆交于B，C两点，B，C两点关于x轴对称，可设B(m，n)，C(m，n)，四边形ABFC是菱形，m(ac)，将B(m，n)代入抛物线方程，得n2(ac)(ac)b2，B，再代入椭圆方程
20、，得1，化简整理，得4e28e30，解得e，故答案为.10在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点若AF23F2B，ABBF1，则椭圆C的标准方程为_1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点若AF23F2B，ABBF1，设F2Bx，则AF23x，ABBF14x，根据椭圆的定义，整理得AF12x，由于AF1B为等腰三角形，所以cosF1AF2，利用余弦定理F1F16AFAF2AF1AF2cosF1AF2，整理得164x29x222x3x，解得x2，故x，所
21、以2a5x5，解得a，由于c2，所以b，所以椭圆的方程为1.11一题两空已知椭圆C1：y21和双曲线C2：y21(m0)经过C1的左顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|BP|，则椭圆C1的离心率e1_；双曲线C2的离心率e2_.椭圆中a2，b1，所以c，离心率为e1，A(2,0)，B(0,1)，直线AB的方程为yx1.因为|AB|BP|，所以B为AP的中点，设P(x，y)，则解得即P(2,2)，双曲线的渐近线为yx，点P在渐近线上，所以22，所以m1.双曲线中a1，b1，所以c，离心率为e2.12一题两空如图，双曲线1(a0，b0)的两个顶点分别为A1，A2，虚轴两个端点分别为B1，B2，两个焦点分别为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则(1)双曲线的离心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_.(1)(2)(1)由于以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，因此点O到直线F2B2的距离为a.又由于虚轴两个端点分别为B1，B2，因此OB2的长为b.在F2OB2中，由三角形的面积公式知bca|B2F2|a，又c2a2b2，联立可得(e21)2e2，根据e(1，)，解得e.(2)设B2F2O，则sin ，cos ，则，b2c2a2，e2.
