1、1几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在子区域 G1G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的形状、位置无关，即 P(点 M 落在 G1)G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型2几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比3借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形
2、、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 P19.()1(教材改编)在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为()A.12B.13C.14D1答案 B解析 坐标小于 1 的区间为0,1，长度为 1，0,3区间长度为 3，故所求概率为13.2(2015山东)在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1121log()2x 1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14答案 A解析 由1121log()2x 1，得12x122，0 x32.由几何概型的概
3、率计算公式得所求概率P3202034.3(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案 A解析 P(A)38，P(B)28，P(C)26，P(D)13，P(A)P(C)P(D)P(B)4(2017济南月考)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为 5 米，4 米，3 米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是()A.180B.150C.120D.90答案 C解析 屋子的体积为 54360(立方米)
4、，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18431332(立方米)故苍蝇被捕捉的概率是260 120.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB为直径的半圆内的概率是_答案 4解析 设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则 P(A)阴影面积长方形面积1212124.题型一 与长度、角度有关的几何概型例 1(1)(2016全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310(2)(2017太原联考)在区间2，2上
5、随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 0 到12之间的概率为_答案(1)B(2)13解析(1)至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40154058，故选 B.(2)当2x2时，由 0cos x12，得2x3或3x2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在ABC 中，B60，C45，高 AD 3，在BAC 内作射线 AM 交 BC于点 M，求 BM1 的概率解 因为B60，C45，所以BAC75.在 RtABD 中，AD 3，B60，所以 BD ADtan 601，BAD30.记事件 N 为“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM1”，则可得BAMBA
6、D 时事件 N 发生由几何概型的概率公式，得 P(N)307525.引申探究1本例(2)中，若将“cos x 的值介于 0 到12”改为“cos x 的值介于 0 到 32”，则概率如何？解 当2x2时，由 0cos x 32，得2x6或6x2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2本例(3)中，若将“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”，求 BM1 的概率解 依题意知 BCBDDC1 3，P(BM1)11 3 312.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)
7、，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)(1)(2016全国乙卷)某公司的班车在 7：00，8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34(2)已知集合 Ax|1x0，在集合 A 中任取一个元素 x，则事件“x(AB)”的概率是_答案(1)B(2)16解析(1)如图所示，画出时间轴小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，
8、根据几何概型得所求概率 P10104012，故选 B.(2)由题意得 Ax|1x5，Bx|2x3，故 ABx|2x3由几何概型知，在集合 A中任取一个元素 x，则 x(AB)的概率为 P16.题型二 与面积有关的几何概型命题点 1 与平面图形面积有关的问题例 2(2016全国甲卷)从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn答案 C解析 由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在
9、如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知41mn，4mn，故选 C.命题点 2 与线性规划知识交汇命题的问题例 3(2016武汉模拟)由不等式组x0，y0，yx20确定的平面区域记为 1，由不等式组xy1，xy2 确定的平面区域记为 2，若在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为_答案 78解析 如图，平面区域 1 就是三角形区域 OAB，平面区域 2 与平面区域 1 的重叠部分就是区域 OACD，易知 C(12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率PS四边形OACDSOAB 2142 78.(1)(2016昌平模拟)设不等式组x2y
10、20，x4，y2表示的平面区域为 D.在区域 D内随机取一个点，则此点到直线 y20 的距离大于 2 的概率是()A.413B.513C.825D.925(2)(2016江西吉安一中第二次质检)已知 P 是ABC 所在平面内一点，4PB5PC3PA0，现将一粒红豆随机地撒在ABC 内，则红豆落在PBC 内的概率是_答案(1)D(2)14解析(1)作出平面区域 D，可知平面区域 D 是以 A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的三角形区域当点在AEF 区域内时，点到直线 y20 的距离大于 2.PSAEFSABC126312105 925.(2)如图，令PD 4PB，PE5PC，PF3P
11、A，连接 DE，EF，FD.4PB5PC3PA0，PD PEPF0，即 P 是DEF 的重心，此时，PDE，PEF，PDF 的面积相等，则PDE 的面积是PBC 的面积的 20 倍，PEF 的面积是PAC 的面积的 15 倍，PDF 的面积是PAB 的面积的 12 倍，故ABC 的面积是PBC 的面积的 4 倍，将一粒红豆随机撒在 ABC 内，则红豆落在PBC内的概率是14.题型三 与体积有关的几何概型例 4(1)(2016贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞
12、行”的概率为()A.18B.16C.127D.38(2)已知正三棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥内任取一点 P，使得 VPABC12VSABC 的概率是()A.78B.34C.12D.14答案(1)C(2)A解析(1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为 1 的小正方体内这个小正方体的体积为 1，大正方体的体积为 27，故安全飞行的概率为 P 127.(2)当 P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P11878.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问
13、题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求(2016哈尔滨模拟)在体积为 V 的三棱锥 SABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 SAPC 的体积大于V3的概率是_答案 23解析 如图，三棱锥 SABC 与三棱锥 SAPC 的高相同，要使三棱锥 SAPC 的体积大于V3，只需APC 的面积大于ABC 的面积的13.假设点 P是线段 AB 靠近点 A 的三等分点，记事件 M 为“三棱锥 SAPC 的体积大于V3”，则事件 M 发生的区域是线段 PB.从而 P(M)PBAB 23.12几何概型中的“测度”典例(1)在等腰 RtABC 中，C90
14、，在直角边 BC 上任取一点 M，则CAM30的概率是_(2)在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为()A.14B.12C.34D.78错解展示解析(1)因为C90，CAM30，所以所求概率为309013.(2)两点之间线段长为12时，占长为 1 的线段的一半，故所求概率为12.答案(1)13(2)B现场纠错解析(1)因为点 M 在直角边 BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度设直角边长为 a，则所求概率为33 aa 33.(2)设任取两点所表示的数分别为 x，y，则 0 x1，且 0y1.由题意知|xy|n.如图，由题意知，在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m，
15、n)，点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线 mn 恰好将矩形平分，所求的概率为 P12.9随机地向半圆 0y 2axx2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于4的概率为_答案 121解析 半圆区域如图所示设 A 表示事件“原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于4”，由几何概型的概率计算公式得 P(A)A的面积半圆的面积14a212a212a2121.10(2016湖南衡阳八中月考)随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P，则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是_答案 1 24解析 由题意作图，如图
16、，则点 P 应落在深色阴影部分，S126 523212，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为2，故点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率为12212 1 24.11已知向量 a(2,1)，b(x，y)(1)若 x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足 ab1 的概率；(2)若 x，y 在连续区间1,6上取值，求满足 ab0 的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6636，由 ab1，得2xy1，所以满足 ab1 的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,
17、5)，共 3 个，故满足 ab1 的概率为 336 112.(2)若 x，y 在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6，满足 ab0 的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6 且2xy0画出图形如图，矩形的面积为 S 矩形25，阴影部分的面积为 S 阴影25122421，故满足 ab0，y0内的一点，求函数 yf(x)在区间1，)上是增函数的概率解 函数 f(x)ax24bx1 的图像的对称轴为直线 x2ba，要使 f(x)ax24bx1 在区间1，)上为增函数，当且仅当 a0 且2ba 1，即 2ba.依条件可知事件的全部结果所构成的区域为a，bab80
18、，a0，b0，构成所求事件的区域为三角形部分所求概率区间应满足 2ba.由ab80，ba2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为 P12883128813.13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停泊时间为 2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y，记事件 A 为“两船都不需要等待码头空出”，则 0 x24,0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 1 h以上或乙比甲早到达 2 h 以上，即 yx1 或 xy2.故所求事件构成集合 A(x，y)|yx1或 xy2，x0,24，y0,24A 为图中阴影部分，全部结果构成集合 为边长是 24 的正方形及其内部所求概率为 P(A)A的面积的面积241212242212242506.5576 1 0131 152.
