1、层级二 专题五 第2讲限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2019天津卷)已知拋物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.解析：D双曲线1(a0，b0)的离心率e .l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx，故得A，B，所以|AB|，4，b2a，所以e.故选D.2(2020贵阳监测)已知拋物线x22py(p0)的焦点F是椭圆1(ab0)的一个焦点，且该拋物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若FAB是正三角形，则椭圆的离心率为()A
2、. B.C. D.解析：C如图，由|AB|，FAB是正三角形，得2c，化简可得(2a23b2)(2a2b2)0，所以2a23b20，所以，所以椭圆的离心率e ，故选C.3(2020福州模拟)过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：A由题设知，直线l：1，即bxcybc0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将xc代入椭圆C的方程，得y，即圆的半径r.又圆与直线l有公共点，所以，化简得2cb，平方整理得a25c2，所以e.又0e1，所以0e.故选A.4
3、(2019全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO的面积为()A. B.C2 D3解析：A忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积由a2，b，c.|PO|PF|，xP，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在yx上，SPFO|OF|yP|，故选A.5(2019烟台三模)过拋物线E：x22py(p0)的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E交于A，B两点，若E在A，B两点处的切线与E的对称轴交于点C，则ABC外接圆的半径是()A(1)p BpC.p D2p解析：B因为直线过拋物线E：x2
4、2py(p0)的焦点，且与其对称轴垂直，A，B，由y可知E在A，B两点处的切线斜率为k11，k21，k1k21，ACBC，即ABC为直角三角形，又|AB|2p，所以ABC外接圆的半径是p.6以拋物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：B设出拋物线和圆的方程，将点的坐标代入，联立方程组求解设拋物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.二、填空题(
5、本大题共2小题，每小题5分，共10分)7(2020深圳模拟)已知圆C1：x2(y2)24，拋物线C2：y22px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|，则拋物线C2的方程为_解析：由题意，知圆C1与拋物线C2的其中一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)|AB|，即A.将A的坐标代入拋物线方程得22p，p，拋物线C2的方程为y2x.答案：y2x8(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_解析：设直线方程为yk(xc)，由得A点坐标为A，由得B点坐标为B，A为F1B的中点，整理得b
6、3ak.，0.2c220整理得c2k2(bak)2由得2C的离心率e2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9(2019全国卷)已知拋物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|.解：(1)设直线l的方程为yxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得x2(3b3)xb20.x1x2，又|AF|BF|x1x24.解得b，直线l的方程为yx.(2)设直线l的方程为y(xa)，则P(a,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x，得y22y3a0.3，y13y2.又，解得a1.y
7、1y22，y1y23，|AB| .10(2019天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xp，yp)(xp0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立得整理得(45k2)x220kx0，可得xp，
8、代入ykx2得yp，进而直线OP的斜率.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.11(2018北京卷)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值；(3)设P(2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C、D和点Q共线，求k.解：(1)由题意得2c2，c又e，ab2a2c21，椭圆标准方程为y21(2)设直线AB的方程为：yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立，得：4x26mx3m230又36m244(3m23)4812m20，m24，|AB|x1x2|m20时，|AB|max(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)x3y3x3y3又P(2,0)，故设k1kPA，直线PA的方程为：yk1(x2)联立，消y得(13k1)x212kx12k30x1x3，x3x1又k1，代入式得x3，y3C，同理可得D易知：(x3，y3)，(x4，y4)Q，C，D三点共线，(x3)(y4)(x4)(y3)0代入C，D坐标化简得：1，k1
