1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的数量积运算学 习 目 标核 心 素 养 1掌握空间向量夹角的概念及表示方法2掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)1通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养2借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养自 主 预 习 探 新 知 1空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作a，b(2)夹角的范围空间任意两
2、个向量的夹角 的取值范围是0，特别地，当 0 时，两向量同向共线；当 时，两向量反向共线，所以若 ab，则a，b0 或；当a，b2时，两向量，记作垂直ab2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则叫做 a，b的数量积，记作 ab即(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(a)b_ 交换律ab_分配律a(bc)_ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b(ab)a(b)baabac(3)空间两向量的数量积的性质：垂直 若 a，b 是非零向量，则 abab0 同向：则 ab|a|b|向量数量积的性质共线反向：则 ab|a|b|模 a a|a|2|a|aa|ab|a|b|
3、向量数量积的性质夹角 为 a，b 的夹角，则 cos|a|a|cosa，aab|a|b|思考：(1)若 ab0，则一定有 ab 吗？(2)若 ab0，则a，b一定是锐角吗？提示(1)若 ab0，则不一定有 ab，也可能 a0 或 b0(2)当a，b0 时，也有 ab0，故当 ab0 时，ab不一定是锐角1下列各命题中，不正确的命题的个数为()aa|a|；m(a)b(m)ab(m，R)；a(bc)(bc)a；a2bb2aA0 B3 C2 D1D 命题正确，不正确2已知正方体 ABCD-ABCD的棱长为 a，设ABa，AD b，AAc，则AB，BD 等于()A30 B60 C90 D120D BD
4、C 是等边三角形，AB，BD DC，BD 1203已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_23 cosa，b ab|a|b|33212 所以a，b234在平行六面体 ABCD-ABCD中，AB4，AD3，AA5，BADBAADAA60，则|AC|_97 AC ABAA AD，AC 2AB 2AA 2AD 22ABAA 2ABAD 2AA AD 425232245cos 60243cos 60253cos 60 1625920121597，|AC|97合 作 探 究 释 疑 难 空间向量的数量积运算 【例 1】(1)已知 a3p2q，bpq，p 和 q 是相互垂直的单位向量，则 ab()A1
5、B2 C3 D4(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：EFBA；EFBD；EFDC；ABCD(1)A 由题意知，pq0，p2q21，所以ab(3p2q)(pq)3p22q2pq1(2)解：EFBA12BD BA 12|BD|BA|cosBD，BA 12cos 6014 EFBD 12BD BD 12|BD|212 EFDC 12BD DC 12DB DC 12cos 6014 ABCD AB(AD AC)ABAD ABAC|AB|AD|cosAB，AD|AB|AC|cosAB，ACcos 60cos 600在几何体中求空间向量的数量积的步骤 1首先
6、将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式ab|a|b|cosa，b求解.跟进训练1(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AEAF_14a2 AEAF12ABAC 12AD 14(ABAD ACAD)14(a2cos 60a2cos 60)14a2(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则 OG(OA OB OC)_143 OG OA AG OA 13(ABA
7、C)OA 13(OB OA)(OC OA)13OB 13OC 13OA OG(OA OB OC)13OB 13OC 13OA(OA OB OC)13OB 213OC 213OA 2 132213321312143 利用数量积证明空间的垂直关系【例2】(1)已知a，b是异面直线，且ab，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为_(2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD(1)6 由ab，得ab0，所以(2e13e2)(ke14e2)0，所以2k120，所以k6(2)
8、解：连接OG(图略)，设A1B1 a，A1D1 b，A1A c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|因为A1O A1A AO A1A 12(ABAD)c12a12b，BD AD ABba，OG OC CG 12(ABAD)12CC1 12a12b12c 所以A1O BD 12a12bc(ba)0，A1O OG 12a12bc 12a12b12c 0，所以A1O BD，A1O OG，即 A1OBD，A1OOG，又 BDOGO，所以 A1O平面 GBD用向量法证明垂直关系的步骤 1把几何问题转化为向量问题.2用已知向量表示所证向量.3结合数量积公式和运算律证明数量积为 0.4将向量问题回归到几
9、何问题.跟进训练2已知空间四边形 OABC 中，M，N，P，Q 分别为 BC，AC，OA，OB 的中点，若 ABOC，求证：PMQN证明 如图，设OA a，OB b，OC c，又 P，M 分别为 OA，BC 的中点，PM OM OP 12(bc)12a 12(ba)c 同理，QN 12(ac)12b 12(ba)c PM QN 14(|ba|2|c|2)又 ABOC，即|ba|c|，PM QN 0，PM QN，即 PMQN利用数量积求夹角 【例 3】如图，在空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求异面直线 OA 与 BC 的夹角的余弦值思路探究：求异
10、面直线 OA 与 BC 所成的角，首先来求OA 与BC的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是0，2，而向量夹角的取值范围为0，注意角度的转化 解 BC AC AB，OA BC OA AC OA AB|OA|AC|cosOA，AC|OA|AB|cosOA，AB84cos 13586cos 120 2416 2 cosOA，BC OA BC|OA|BC|2416 28532 25，异面直线OA与BC的夹角的余弦值为32 25 利用向量数量积求夹角问题的思路 1求两个向量的夹角有两种方法：结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；先求 ab，再利用公式 cosab ab
11、|a|b|求 cosa，b，最后确定a，b.2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量即直线的方向向量；异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小.跟进训练3如图，已知直三棱柱 ABC-ABC中，ACBCAA，ACB90，D，E 分别为 AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值解(1)证明：设CAa，CBb，CC c，根据题意，|a|b|c|且 a
12、bbcca0 CEb12c，AD c12b12a CEAD 12c212b20，CEAD，即 CEAD(2)AC ac，|AC|2|a|，|CE|52|a|，AC CE(ac)b12c 12c212|a|2，cosAC，CE12|a|22 52|a|2 1010 异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 1010 利用数量积求距离探究问题1异面直线 AB，CD 所成的角为 60，则AB，CD 的值是多少？提示 AB，CD 60或 120 2如图，已知线段 AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D 与 A 在 的同侧，若 ABBCCD2，试求A，D 两点间的距离提示 AD ABBCC
13、D，|AD|2(ABBCCD)2|AB|2|BC|2|CD|22ABBC 2ABCD2BC CD 122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，|AD|2 2，即 A，D 两点间的距离为 2 2【例4】如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线 AC 将ACD 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求此时 B，D 间的距离思路探究：BD BAACCD 解 ACD90，ACCD0，同理可得ACBA0AB与 CD 成 60角，BA，CD 60或BA，CD 120又BD BAAC CD，|BD|2|BA|2|AC|2|CD|22BAAC 2BACD
14、 2ACCD 3211cosBA，CD 当BA，CD 60时，|BD|24，此时 B，D 间的距离为 2；当BA，CD 120时，|BD|22，此时 B，D 间的距离为 2 1利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式 aa|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离跟进训练4如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA，OB，OC 两两成60角，且 OAOBOC2，E 为 OA 的中点，F 为 BC 的中点，试求 E，F 间的距离解 EFEAAF12
15、OA 12(ABAC)12OA 12(OB OA)(OC OA)12OA 12OB 12OC，所以EF2 14OA 214OB 214OC 2212 12OA OB 21212OA OC 21212OB OC 2|EF|2，即 E，F 间的距离为 2课 堂 小 结 提 素 养 1空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用 ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算2在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展
16、开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入 ab|a|b|cosa，b求解1已知|p|q|1，且p，q90，a3p2q，bpq，则 ab()A1 B2C3D4A ab(3p2q)(pq)3p2pq2q212在空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC3，则cosOA，BC的值为()A12B 22C12D0D OA BC OA(OC OB)OA OC OA OB|OA|OC|cosAOC|OA|OB|cosAOB12|OA|OC|12|OA|O B|0，OA BC，cosOA，BC03若 a，b，c 为空间两两夹角都是 60的三个单位向量，则|ab2c|_5(ab2c)2a2b24c22ab4ac4bc61225，|ab2c|54正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1 的各棱长都为 2，E，F 分别是 AB，A1C1 的中点，求 EF 的长解 如图所示，设ABa，AC b，AA1 c由题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90 因为EFEAAA1 A1F 12ABAA1 12AC 12a12bc，所以 EF2|EF|2EF 214a214b2c2212a12b12bc12ac 1422142222214 22cos 6011415，所以 EF 5点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
