1、专题一 函数图象的判断与分析 目 录 类型一 与实际问题结合类型三 与动点结合类型二 与几何图形结合 该类型题以实际生活为背景,用函数图象来描述实际问题,考查学生对函数图象的识图能力和分析问题的能力,并且让学生更深入地体会到数学来源于生活,在平时多关注生活中所蕴含的数学知识.此类型题,既表现了函数的基础性功能,又突出表现了它的应用性功能,展示了中考数学命题侧重核心素养的命题初衷.本类型题主要考查函数图象的变化特征,解题的关键是利用数形结合的数学思想方法.做题时要结合实际问题,抽象出数学模型,找出数量关系,分析其中的函数关系和特殊点的用意,结合函数图象解决问题.与实际问题结合 一 题型讲解 方法
2、点拨 解决此类问题依照以下步骤:第一,找起点,结合题中所给的自变量及因变量的取值范围,在图中找到相对应点并分析用意;第二,找特殊点,即交点或转折点,说明图象在此点处发生变化;第三,判断图象趋势,依据实际问题判断出函数增减性的意义;第四,与坐标轴相交情况,即此时另外一个量为0,此为特殊情况.解题技巧 与实际问题结合 一(2021南京二模)我市制米厂接到加工大米任务,要求 5 天内加工完 220 吨大米,制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务,乙车间加工中途停工一段时间维修设备,然后改变加工效率继续加工,直到与甲车间同时完成加工任务为止.甲、乙两车间各自加工大米数量 y(吨)与甲车间加工时间 x(
3、天)之间的关系如图所示;未加工大米 w(吨)与甲加工时间 x(天)之间的关系如图所示,请结合图象回答下列问题:例题1(1)甲车间每天加工大米 吨,a=.(2)求乙车间维修设备后,乙车间加工大米数量 y(吨)与 x(天)之间函数关系式.(3)若55吨大米恰好装满一节车厢,那么加工多长时间装满第一节车厢?再加工多长时间恰好装满第二节车厢?分析：(1)根据题意,由图得出两个车间同时加工和甲单独加工的速度;(2)用待定系数法解决问题;(3)求出两个车间每天加工速度,分别计算两个 55 吨完成的时间.解析：(1)由图象可知,第一天甲、乙共加工220-185=35(吨),第二天,乙停止工作,甲单独加工18
4、5 165=20(吨).则乙一天加工35 20=1 5(吨).a=15.故答案为 20,15.(2)设y=kx+b,把(2,15),(5,120)代入得 =+,=+,解得 =,=,y=35 x-55.(3)由图可知:当w=220 55=165时,恰好是第二天加工结束.当 2 x 5时,两个车间每天加工速度为=55吨.再加工 1 天装满第二节车厢.【高分点拨】本题为一次函数实际应用问题,应用了待定系数法.解答要注意通过对比分析两个函数图象实际意义得到问题答案.（2021唐山模拟）如图1所示,在 A,B 两地之间有汽车站 C 站(AC BC),客车由A地驶往C 站,货车由 B 地驶往 A 地,两车
5、同时出发,匀速行驶.图2是客车、货车离 C 站的路程 y1,y2(千米)与行驶时间 x(小时)之间的函数关系图象.求:(1)A,B 两地的距离;(2)在图 2 中点 P 的坐标.当堂检测1解:(1)当 t=0时,客车距 C 站 360 千米,货车距 C 站 60千米,A,B 两地的距离=60千米+360 千米=420 千米;(2)由图 2 可得货车行驶 2 小时后到达 C 站,即货车速度为 602=30(千米/小时),货车到达 A 站需要 42030=14(小时),图 2中点 P 坐标为(14,360).答:(1)A,B 两地的距离为 420 千米;(2)图 2 中点 P 的坐标为(14,36
6、0).函数与几何的综合问题是各地中考试题中需要重点关注的新题型,这类试题,将几何知识与函数知识有机地结合起来,重在考查学生灵活运用函数、几何的有关知识及创造性思维,通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力.函数与几何的综合题主要有两类:一类是几何元素间的函数关系问题,其特点是根据已知几何图形间的位置和数量关系(如平行、全等、相似,特别是成比例)建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系,求出函数关系式,运用函数的性质去解决几 与几何问题结合 二 题型讲解 何图形中的问题;另一类是函数图象中的几何图形的问题,其特点是根据已知函数图象中的几何图形的位置特征,运用数形结合的方法解决有
7、关函数、几何问题.在中考考查题型中,数形结合思想贯穿始终,“数”可以准确地澄清“形”的模糊,而“形”能直观地启迪“数”的计算;使用数形结合的思想来解决问题时,要时刻注意由图形联想其性质,由性质联想相应的图形,从而使问题得以简单化、具体化.与几何问题结合 二 方法点拨 解决此类问题一般从两个方向出发：一是从条件与结论出发,就是根据已知和未知出发进行联想、推理,“由条件得结论”,“从要求到需求”,通过对问题的前后思量,使它们产生联系,从而使问题得以解决.二是寻找要解决的问题中各种量之间的等量关系,建立已知量与未知量间的等式,通过等式从而使问题得到解决.在运用这种思想时,要注意充分挖掘问题的隐藏条件
8、,建立等量关系.与几何问题结合 二 解题技巧 (2020锦州二模)如图,在RtPMN中,P=90,PM=PN,MN=6 cm,矩形 ABCD中AB=2 cm,BC=10 cm,点 C 和点 M 重合,点 B,C(M),N在同一直线上,令RtPMN不动,矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以每秒 1 cm的速度向右移动,至点 C 与点 N 重合为止.设移动 x 秒后,矩形ABCD与PMN重叠部分的面积为y,则y与x的大致图象是()例题2分析：在解题时,要充分运用好RtPMN中垂直关系和 45角,因为此题也是点的移动问题,可知矩形ABCD以每秒1 cm的速度由开始向右移动到停止,和 RtPMN 重叠
9、部分的形状可分为下列三种情况:(1)0 x 2;(2)2 x 4;(3)4 x 6.根据重叠图形确定面积的求法,做出判断即可.解析：P=90,PM=PN,PMN=PNM=45.由题意,得CM=x,分三种情况:当 0 x 2时,如图,边CD 与PM 交于点E,PMN=45,MEC是等腰直角三角形.此时矩形ABCD与PMN重叠部分是EMC,y=SEMC=CMCE=x2.故选项 B 和 D 不正确.如图,当D 在边PN上时,N=45,CD=2,CN=CD=2.CM=6 2=4,即此时x=4.当 2 x 4时,如图,矩形ABCD 与PMN 重叠部分是四边形EMCD,过点E 作EFMN 于点F,MF=E
10、F=2.DE=CF=x-2,y=S梯形EMCD=CD(DE+CM)=2(x-2+x)=2x-2.当4 x 6时,如图,矩形ABCD与PMN重叠部分是五边形EMCGF,过点E 作EHMN 于点H,MH=EH=2,DE=CH=x-2.MN =6,CM=x,CG=CN=6-x.DF=DG=2-(6-x)=x-4.y=S梯形EMCD-SFDG=CD(DE+CM)-DG2=2(x-2+x)-(x-4)2=-x2+6x-10.故选项 A 正确.【高分点拨】此题是动点问题的函数图象,有难度,主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示,注意数形结合和分类讨论思想的应用.(2020承
11、德模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,点 P 在 CD 边上运动,连接 AP,过点 B 作 BEAP,垂足为点 E,设 AP=x,BE=y,则能反映y与x之间函数关系的图象大致是()当堂检测2解析：四边形ABCD 为矩形,ABCD,AD=BC=3,D=DAB=90.APD=BAE.BEAP,AEB=90.APDBAE.AP:AD=AB:BE,即x:3=4:y.y=(3x5).故选 B.这类问题主要通过点的运动构成一种函数关系,生成函数图象,将运动与函数图象有机地结合在一起,体现了数形结合的思想,能充分考查学生的观察、分析、归纳、猜想的能力以及综合运用所学知识解决问题的能力.解
12、答此类问题可以归纳为三步:“看”“算”“选”.(1)“看”就是认真观察几何图形,彻底弄清楚动点从哪出发,到哪停止,整个运动过程分为不同的几段,哪个点(时刻)是特殊点(时刻),这是准确解答的前提和关键.与动点结合 三 题型讲解 方法点拨(2)“算”就是计算、写出动点在不同阶段的函数解析式,注意一定要注明自变量的取值范围,求出在特殊点的函数值和自变量的值.(3)“选”就是根据解析式选择准确的函数图象或答案,多用排除法.首先,排除不符合函数类型的图象;其次,对于相同函数类型的函数图象,根据自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除,选出准确答案.与动点结合 三 解决这类问题一般遵循这样的方法:
13、(1)根据题意确定出动点在不同的线段上运动时的范围,得到自变量x(或t)的取值范围;(2)在某一个确定的范围内,用含自变量 x(或t)的代数式表示出所需的线段长,利用面积公式或三角形相似的性质,表示出所求图形的面积或线段比,化简得出y(或s)关于x(或t)的关系式;(3)根据关系式,结合自变量的取值范围,判断出函数图象.与动点结合 三 解题技巧 如图,菱形 ABCD 的边长是 4 厘米,B=60,动点 P 以 1 厘米/秒的速度自点 A 出发沿AB 方向运动至点 B 停止,动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自点 B 出发沿折线 BCD 运动至点D 停止.若点 P,Q 同时出发运动了t 秒,记 B
14、PQ 的面积为 S 平方厘米,下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是()ABCD例题3分析：根据题意,结合图形,分别确定P,Q两点在 0 t 2时,2 t 4时的运动状态,并分别求出在这两个时间段中 t(秒)与 S(cm2)之间的函数关系式,即可确定函数的图象.解析:当 0 t 2时,设边BQ 上的高为h,则h=sin 60BP=(4-t),此时S=BQh=2t (4-t)=-t2+2 t,其图象是开口向下的抛物线的一部分,可得出选项 A,C 不符合题意;当 250,每月上网时间为 35h 时,选择 B 方式最省钱,结论 C 正确;设当x 50时,yB=mx+n,将(50,50),(
15、55,65)代入yB=mx+n,得 +=,+=,解得 =,=.yB=3x-100(x 50),当 x=70 时,yB=3x-100=110120,结论D错误.故选D.3.(2021邯郸模拟)如图,大小两个正方形在同一水平线上,小正方形从图的位置开始,匀速向右平移,到图的位置停止运动.如果设运动时间为 x,大小正方形重叠部分的面积为y,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是()解析:依题意,阴影部分的面积函数关系式是分段函数,面积从 0 开始由“增加不变减少”变化.故选 C.4.(2021河北模拟)已知点 P 为某个封闭图形边界上一定点,动点 M 从点 P 出发,沿其边界顺时针
16、匀速运动一周,设点 M 的运动时间为 x,线段 PM 的长度为 y,表示 y与 x 的函数图象大致如图所示,则该封闭图形可能是()解析：选项B中的图形是菱形,在每边上运动所需的时间相等;选项C中的图形是等腰梯形,y与x的图象不对称;选项D中的图形是圆,y与x的图象只有两部分,它们均不符合所给图象.故选A.5.(2021南京二模)“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先,但它因为骄傲在途中睡觉,而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛,下列函数图象可以体现这一故事过程的是()解析:乌龟匀速爬行,兔子因在比赛中间睡觉,导致开始领先,最后输掉比赛,所以直线表示乌龟,折线段表示兔子,跑到终点兔子用的时
17、间多于乌龟所用的时间.A中,乌龟用时多,不合题意;C 中,兔子和乌龟用时相同,不合题意;D 中,乌龟虽然用时少,但图象显示比赛一开始,乌龟的速度就大于兔子的速度,不合题意;只有 B 符合题意.6.(2021孝感模拟)如图,在 ABC 中,B=90,AB=3 cm,BC=6 cm,动点 P 从点 A开始沿 AB 向点 B 以1 cm/s的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以2 cm/s的速度移动.若 P,Q 两点分别从 A,B 两点同时出发,点 P 到达点 B 运动停止,则PBQ的面积 S 随出发时间t的函数关系图象大致是()解析：根据题意表示出 PBQ 的面积 S 与 t
18、的关系式,进而得出答案.由题意可得 PB=3-t,BQ=2t,则 PBQ 的面积S=PBBQ=(3-t)2t=-t2+3t,故 PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是二次函数图象,开口向下,故选 C.7.(2020苏州模拟)某工厂用 50 天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件 80 元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第 x 天的生产成本 y(元/件)与 x(天)之间的关系如图所示,第 x 天该产品的生产量 z(件)与x(天)满足关系式 z=-2x+120.(1)第 40 天,该厂生产该产品的利润是元;(2)设第 x 天该厂生产该产
19、品的利润为 w 元.求 w 与 x 之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少?在生产该产品的过程中,当天利润不低于2 400元的共有多少天?解:(1)由图象可知,第 40 天时的成本为 40 元,此时的产量为 z=-240+120=40,则第 40 天的利润为(80-40)40=1 600元.(2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k0),把(0,70),(30,40)代入,得 =,+=.解得 =,=.直线 AB 的解析式为 y=-x+70.()当 0 x 30 时,w=80-(-x+70)(-2x+120)=-2x2+100 x+1 200=-2(x-25)2+2 45
20、0,当x=25 时,w最大值=2 450;()当 30 x 50 时,w=(80-40)(-2x+120)=-80 x+4 800,w 随 x 的增大而减小,当 x=31 时,w最大值=2320,w=+(0 x 30)，+，第 25 天的利润最大,最大利润为 2450 元.()当 0 x 30 时,令-2(x-25)2+2 450=2 400,解得x1=20,x2=30,抛物线 w=-2(x-25)2+2 450 开口向下,由其图象可知,当 20 x 30时,w 2 400,此时,当天利润不低于2 400元的天数为 30 20+1=11天;()当 30 x 50时,由可知当天利润均低于2 40
21、0元.综上所述,当天利润不低于2 400元的共有11天.8.(2020唐山路北模拟)在一条笔直的公路上依次有 A,C,B 三地,甲、乙两人同时出发,甲从 A 地骑自行车去 B 地,途经 C 地休息 1 分钟,继续按原速骑行至 B 地,甲到达 B 地后,立即按原路原速返回 A 地;乙步行从 B 地前往 A 地.甲、乙两人距 A 地的路程 y(米)与时间 x(分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)请写出甲的骑行速度为米/分钟,点 M 的坐标为;(2)求甲返回时距 A 地的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围);(3)请直接写出两人出发后,在甲返回
22、 A 地之前,经过多长时间两人距 C 地的路程相等.解:(1)由题意得,甲的骑行速度为 =240(米/分钟)240(11-1)2=1200(米),=（分钟），+=6（分钟）则点M的坐标为(6,1200),故答案为 240,(6,1200).(2)设 MN 的解析式为 y=kx+b(k0),y=kx+b(k0)的图象过点 M(6,1 200),N(11,0),+=,+=,解得 =,=,直线 MN 的解析式为 y=-240 x+2 640,即甲返回时距 A 地的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式:y=-240 x+2 640.(3)设甲返回 A 地之前,经过 x 分钟两人距 C 地的路程相等,
23、乙的速度:120020=60(米/分钟),如图所示:AB=1 200,AC=1 020,BC=1 200-1 020=180,分 5 种情况:当03此种情况不符合题意;当3x-1时,即3x,甲、乙都在 A,C 之间,1 020-240 x=60 x-180,解得x=4;当 x6 时,甲在B,C之间,乙在 A,C 之间,240 x-1020=60 x-180,解得x=6 时,甲在返回途中,当甲在 B,C 之间时,180-240(x-1)-1 200=60 x-180,x=6,此种情况不符合题意;当甲在 A,C 之间时,240(x-1)-1 200-180=60 x-180,解得 x=8.综上所述,在甲返回 A 地之前,经过 4 分钟或 6 分钟或 8 分钟时两人距 C 地的路程相等.
