1、2014年石景山区高三统一测试数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知全集，集合，那么（ ）ABCD2下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是（ ）AB CD3在的展开式中，的系数为（ ）AB CD4已知中， 以为直径的圆交于，则的长为（ ）ABCD5 在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为（ ）AB CD主视图左视图俯视图6右图是某个三棱锥的三视图
2、，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）ABCD否开始是输出结束7阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）AB CD 8已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（ ）AB CD第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9已知命题:，则是_ 10在等比数列中，则数列的通项公式_，设，则数列的前项和_ 11已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆的直角坐标方程为_，若直线与圆相切，则实数的值为_ 12已知变量满足约束条件则的取值范围是_.13各大学在高
3、考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）14若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”.已知函数和函数，那么函数和函数的隔离直线方程为_.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，且，（）求角的大小；（）若，求边的长和的面积.16（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏
4、高现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（ppm）中华人民共和国环境保护法规定食品的汞含量不得超过ppm（）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；（）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望17.（本小题满分14分）如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
5、18（本小题满分13分）设函数.（）若，求函数的单调区间；（）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为.19（本小题满分14分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.（）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；（）求证：线段的长为定值.20（本小题满分13分）对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列例如，数列的一个生成数列是已
6、知数列为数列的生成数列，为数列的前项和（）写出的所有可能值；（）若生成数列满足，求数列的通项公式；（）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为2014年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分题号12345678答案ACBDDBCA二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分两空的题目，第一空2分，第二空3分题号91011121314答案；，三、解答题：本大题共6个小题，共80分应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）解：（）因为， 所以， 2分 因为，所以， 所以， 4分因为，且，所以 6分（）因为，所以由余弦定
7、理得，即，解得或（舍），所以边的长为. 10分 13分16（本小题满分13分）解：（）记“条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标”为事件，则，条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为. 4分（）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率， 5分可能取，. 6分则 ，10分其分布列如下：012312分所以. 13分17（本小题满分14分）（）证明：连结交于，连结， 因为三棱柱是正三棱柱， 所以四边形是矩形， 所以为的中点 因为是的中点， 所以是三角形的中位线， 2分 所以 3分因为平面，平面，所以平面 4分（）解：作于，所以平面， 所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系因为，是的中点 所以， 5分
8、所以， 设是平面的法向量， 所以即 令，则， 所以是平面的一个法向量 6分 由题意可知是平面的一个法向量， 7分所以 8分 所以二面角的大小为 9分（）设，则，设平面的法向量， 所以即令，则， 12分又，即，解得， 所以存在点，使得平面平面且 14分18（本小题满分13分）解: （）时, ， ， 1分，的减区间为,增区间. 3分（）在区间上是减函数，对任意恒成立，即对任意恒成立， 5分对任意恒成立，令， 7分易知在单调递减，. 8分（）设切点为，切线的斜率，又切线过原点，存在性：满足方程，所以，是方程的根. 11分再证唯一性：设，在单调递增，且，所以方程有唯一解.综上，切点的横坐标为. 13分
9、19（本小题满分14分）解：（）， 椭圆方程为， 2分准圆方程为. 3分 （）（）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，所以由得.因为直线与椭圆相切，所以，解得， 6分所以方程为. 7分，. 8分（）当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则：，当：时，与准圆交于点，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当：时，直线垂直. 10分当斜率存在时，设点，其中.设经过点与椭圆相切的直线为，所以由 得 .由化简整理得 ，因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即垂直. 12分综合知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且 垂直.所以线段为准圆的直径， ，所以线段的长为定值. 14分20（本小题满分13分）解：（）由已知，由于，可能值为 3分（），当时， 当时， 5分是的生成数列，；在以上各种组合中，当且仅当时，才成立 8分（）共有种情形，即， 又，分子必是奇数，满足条件的奇数共有个 10分 设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项由于，不妨设，则 ，所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有12分共有种情形，其值各不相同可能值必恰为，共个即所有可能值集合为 13分【注：若有其它解法，请酌情给分】
