1、第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养 1理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)1通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养2通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养自 主 预 习 探 新 知 1双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2距离的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距差的绝对值两个定点两焦点间的距
2、离思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a(常数)，且2a3B2k3Ck2D0k0，所以解得k24与双曲线x28y2101具有相同焦点的双曲线方程是_(只写出一个即可)x26 y2121 与x28 y2101具有相同焦点的双曲线方程为 x28ky210k1(8k10)合 作 探 究 释 疑 难 双曲线的定义及应用【例1】已知F1，F2是双曲线x29y2161的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点
3、M到另一个焦点的距离；(2)若点P是双曲线上的一点，且F1PF260，求F1PF2的面积思路探究：(1)直接利用定义求解(2)在F1PF2中利用余弦定理求|PF1|PF2|解(1)设|MF1|16，根据双曲线的定义知|MF2|16|6，即|MF2|166解得|MF2|10或|MF2|22(2)由x29y2161，得 a3，b4，c5 由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|64，SF1PF212|PF1|PF2|sin F1PF2 1264 32 16 3
4、 求双曲线中的焦点三角形 PF1F2 面积的方法 1根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式 SPF1F212|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积.2利用公式 SPF1F212|F1F2|yP|求得面积.跟进训练1(1)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A|PF1|PF2|3B|PF1|PF2|4C|PF1|PF2|5D|PF1|2|PF2|24A|F1F2|4，根据双曲线的定义知选A(2)已知定点A
5、的坐标为(1,4)，点F是双曲线 x24 y212 1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_9 由双曲线的方程可知a2，设右焦点为F1，则F1(4,0)|PF|PF1|2a4，即|PF|PF1|4，所以|PF|PA|PF1|PA|4|AF1|4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|41242 25 5，所以|PF|PA|AF1|49，即|PF|PA|的最小值为9求双曲线的标准方程 【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a4，经过点A1，4 103；(2)与双曲线x216y241有相同的焦点，且经过点(3 2，2)；(3)过点P3，154，Q1
6、63，5 且焦点在坐标轴上思路探究：(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c216420，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解 解(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为x216y2b21(b0)，把点A的坐标代入，得b2 1615 1609 0)，把A点的坐标代入，得b29故所求双曲线的标准方程为y216x291(2)法一：焦点相同，设所求双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，c216420，即a2b220 双曲线经过点(3 2，2)，18a2 4b21
7、 由得a212，b28，双曲线的标准方程为x212y281 法二：设所求双曲线的方程为x216 y241(416)双曲线过点(3 2，2)，1816 441，解得4或14(舍去)双曲线的标准方程为x212y281(3)设双曲线的方程为Ax2By21，AB0 点P，Q在双曲线上，9A22516 B1，2569 A25B1，解得A 116，B19.双曲线的标准方程为y29x2161 1求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值2当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2
8、By21(AB0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程，得25a216b21 又a2b29，解得a25，b24，所以双曲线的标准方程为y25x241与双曲线有关的轨迹问题 探究问题1到两定点 F1，F2 的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示 一支 2求以两定点 F1，F2 为焦点的双曲线方程时，应如何建系？提示 以直线 F1F2 和线段 F1F2 的垂直平分线分别为 x 轴和 y轴建系【例 3】如图所示，在ABC 中，已知|AB|4 2，且三个内角 A，B，C 满足 2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程思路探究：解
9、以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(22，0)，B(22，0)由正弦定理，得sin A|BC|2R，sin B|AC|2R，sin C|AB|2R(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|AB|2 2 2a)，a 2，c2 2，b2c2a26 即所求轨迹方程为x22y261(x 2)求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 1列出等量关系，化简得到方程.2寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴.检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支
10、还是两支.跟进训练3如图所示，已知定圆 F1：x2y210 x240，定圆 F2：x2y210 x90，动圆 M 与定圆 F1，F2 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程解 圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11 圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24 设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a 32，c5，于是b2c2a2914 动圆圆心M的轨迹方程为x294y29141x32 课 堂 小 结 提 素 养 1双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2
11、|)不要漏了绝对值符号，当2a|F1F2|时表示两条射线2在双曲线的标准方程中，ab不一定成立要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b23用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解1已知双曲线的一个焦点F1(0,5)，且过点(0,4)，则该双曲线的标准方程为()Ax29y2161 By216x291Cx29y2251Dy225x291B 由已知得，c5，a4，所以b3所以双曲线的标准方程为y216x2912若kR，方程 x2k3 y2k21表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()A3k2Bk3Ck2Dk2A 由题意可知k30，k20，解得3k0，b0)，所以a2b29，16a215b21，解得a24，b25，所以所求的双曲线的标准方程为y24x251点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
