1、专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 一、选择题1设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A Bp C2p D无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x，yp，|AB|min2p故选C2已知F是双曲线1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A4 B6 C8 D9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F(4，0)，于是由双曲线定义得|PF|PF|2a4，故|PF|PA|2a|PF|PA|4|AF|9，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立故选D3已知M(x0，y0)为抛物线
2、C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0，2) B0，2C(2，) D2，)答案C解析由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且|FM|4，根据抛物线的定义知|FM|y02，所以y024，得y02，故y0的取值范围是(2，)4过椭圆1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是()A14 B16 C18 D20答案C解析如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|PF2|，|OP|OQ|，所以PQF的周长为|PF|FQ|PQ|PF|PF2|2|PO|2a2
3、|PO|102|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，PQF的周长取得最小值102418故选C5(2018豫南九校联考)已知两定点A(1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A B C D答案A解析点A关于直线l：yx3的对称点A(3，2)，连接AB与直线l相交，当点P在交点处时，2a|PA|PB|PA|PB|AB|2，此时a取得最小值，又c1，所以椭圆C的离心率的最大值为，故选A6(2019厦门一中开学考试)已知ABC三个顶点A，B，C都在曲线1上，且20(其中O为坐标
4、原点)，M，N分别为AB，AC的中点，若直线OM，ON的斜率存在且分别为k1，k2，则|k1|k2|的取值范围为()A， B0，)C0， D，答案D解析由于A，B都在曲线1上，则有1，1，两式相减并整理可得，由20知，2，则B，C关于坐标原点对称，而M，N分别为AB，AC的中点，则k1kAC，k2kAB，则|k1|k2|kAC|kAB|22 22，当且仅当|kAB|kAC|时，等号成立故选D二、填空题7(2018湖北黄冈中学二模)设椭圆y21上任意一点A到两条直线x2y0的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为_答案解析设点A的坐标为(2cos，sin)，则d1d2，所以d1d2的最大值为
5、8(2018河南六市联考一)已知P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值是_答案12解析设双曲线的右焦点为F2(，0)，不妨设渐近线l：xy0，则点F2(，0)到渐近线l的距离为1，由于点P在双曲线右支上，则|PF1|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|，|PF1|PQ|2|PF2|PQ|21，当且仅当点Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时取等号，故|PF1|PQ|的最小值是129(2018厦门质检一)过抛物线E：y24x焦点的直线l与E交于A，B两点，E在点A，B处的切线分别与y轴交于C，D两点，
6、则4|CD|AB|的最大值是_答案8解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线AC的方程为xt(yy1)x1t(yy1)，代入抛物线的方程，消去x，得y24ty4ty1y0由16t24(4ty1y)0，得t，所以直线AC的方程为x(yy1)，其中令x0，得yC，同理可求得yD，所以|CD|y1y2|由题意，知抛物线的焦点为F(1，0)，则设直线AB的方程为xmy1，代入抛物线的方程，消去x，得y24my40，所以y1y24m，y1y24，所以4|CD|AB|2|y1y2|y1y2|28 4(1m2)4()28，所以当时，4|CD|AB|取得最大值为8三、解答题10(2018济南模拟)在平面
7、直角坐标系xOy中，抛物线C1：x24y，直线l与抛物线C1交于A，B两点(1)若直线OA，OB的斜率之积为，证明：直线l过定点；(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y4x2(2x0，x1x24k，x1x24m，kOAkOB，由已知kOAkOB，得m1，直线l的方程为ykx1，直线l过定点(0，1)(2)设M(x0，y0)，则由(1)知x02k，y0kx0m2k2m，将M(x0，y0)代入C2：y4x2(2x2)得2k2m4(2k)2，m43k2，2x02，22k2，k0，kb0)的左、右顶点分别为M，N，点P是椭圆上异于点M，N的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，满足kP
8、MkPN(1)求椭圆C的离心率；(2)设椭圆C的左焦点为F(c，0)，过点F的直线AB交椭圆于A，B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点记GFD的面积为S1，OED的面积为S2，求的取值范围解(1)设P(x0，y0)，则1，即，因为kPMkPN，所以，又a2b2c2，则有a24c2，a2c，因此椭圆C的离心率e(2)由(1)可知a2c，bc，则椭圆的方程为1根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为yk(xc)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(xD，0)，联立消去y并整理得(4k23)x28ck2x4k2c212c20，从
9、而有x1x2，y1y2k(x1x22c)，所以G，因为DGAB，所以k1，解得xD由RtFGD与RtEOD相似，所以99，令t，则t9，从而|AA|2依椭圆的定义可知，动点B的轨迹为椭圆，设为1(ab0)，其中|BA|BA|2a4，|AA|2c2，a2，c1，b2a2c23，动点B的轨迹方程为1(2)证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x2，此时直线l与椭圆1相切，与题意不符；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2)由得(4k23)x2(16k28k)x16k216k80设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由96(12k)0k0，所以m1又点M(m，0)在椭圆长轴上(不含
10、端点)，所以1m，即实数m的取值范围为(1，)(2)假设以EF为直径的圆恒过定点当EFx轴时，以EF为直径的圆的方程为x2y21；当EFy轴时，以EF为直径的圆的方程为x2y2，则两圆的交点为Q(0，1)下证当直线EF的斜率存在且不为0时，点Q(0，1)在以EF为直径的圆上设直线EF的方程为yk0x(k00)，代入y21，整理得(2k1)x2k0x0，设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3x4，x3x4，又(x3，y31)，(x4，y41)，所以x3x4(y31)(y41)x3x4k0x3k0x4(1k)x3x4k0(x3x4)(1k)k00，所以点Q(0，1)在以EF为直径的圆上综上，以EF为直径的圆恒过定点Q(0，1)
