1、2016-2017学年上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校联考高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律不得分.1函数的最小正周期T=2函数的反函数是3计算： =4已知a0且b0，函数g（x）=2x，且g（a）g（b）=2，则ab的最大值是5方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，则B=7设x0为函数f（x）=2x+x2的零点，且x0（m，n），其中m，n为相邻的整数，则m+n=8定义在R上的函数y=
2、f（x）满足f（x）f（x+5）=3，f（1）=2，则f的等比数列an的前n项和为Sn若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=11如图，在ABC中，已知AB=4，AC=6，BAC=60，点D，E分别在边AB，AC上，且，点F为DE中点，则的值为12若不等式|x+a|2在x1，2时恒成立，则实数a的取值范围是13设集合A=a1，a2，a3，a4，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B=1，3，5，8，则集合A=14把自然数按如图所示排列起来，从上往下依次为第一行、第二行、第三行，中间用虚线围起来的一列数，从上往下依次为1、5、13、25、，按这样的顺序，排在第30个的数是二.选择题（
3、本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律不得分.15如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D16已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=+（，为实数），则m的取值范围是（）A（，2）B（2，+）C（，+）D（，2）（2，+）17下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x2x2=0”的必要不充分条件C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D“tanx=
4、1”是“x=”的充分不必要条件18已知函数f（x）=，x2，4对于满足2x1x24的任意x1，x2，给出下列结论：x1f（x2）x2f（x1）x2f（x1）x1f（x2）（x2x1）f（x2）f（x1）0（x2x1）f（x2）f（x1）0其中正确的是（）ABCD三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19已知（1），求（2）若与的夹角为60，求|；（3）若与垂直，求与的夹角20某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n天（1n30，nN+）的日销售量为f（n）（单位；台）函数f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横
5、坐标为m（mN+），已知1nm时，函数f（n）=32n（1）当mn30时，求函数f（n）的解析式；（2）求m的值及该店前m天此型号空调的销售总量；（3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？21如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cos，sin），B（cos2，sin2），C（cos3，sin3）（0），分别设SOAC，SABC的面积为S1和S2（1）用sin、cos表示S1和S2；（2）求+的最大值及取最大值时的值22已知a，b为实数，函数f（x）=x2+ax+1，且函
6、数y=f（x+1）是偶函数，函数g（x）=bf（f（x+1）+（3b1）f（x+1）+2在区间（，2上的减函数，且在区间（2，0）上是增函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数b的值；（3）设h（x）=f（x+1）2qx+1+2q，问是否存在实数q，使得h（x）在区间0，2上有最小值为2？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由23已知等差数列an的首项为c，公差为d，等比数列bn的首项为d，公比为c，其中c，dZ，且a1b1a2b2a3（1）求证：0cd，并由b2a3推导c的值；（2）若数列an共有3n项，前n项的和为A，其后的n项的和为B，再其后的n项的和为C，求的比值（3）若数列bn
7、的前n项，前2n项、前3n项的和分别为D，G，H，试用含字母D，G的式子来表示H（即H=f（D，G），且不含字母d）2016-2017学年上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校联考高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律不得分.1函数的最小正周期T=2【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】求三角函数的周期主要是用公式T=，由函数的解析式读出的值，代入公式即可求出周期【解答】解：由题意函数f（x）=sin（x+1），所以它的最小正周期是T=2故答案为
8、：22函数的反函数是f1（x）=x2（x0）【考点】反函数【分析】令y=，则x=y2（y0），x，y互换，可得函数的反函数【解答】解：令y=，则x=y2（y0），函数的反函数是f1（x）=x2（x0），故答案为：f1（x）=x2（x0）3计算： =【考点】极限及其运算【分析】对分式同除以n2，运用=0， =0，计算即可得到所求值【解答】解： =a故答案为：4已知a0且b0，函数g（x）=2x，且g（a）g（b）=2，则ab的最大值是【考点】指数函数的图象与性质【分析】由题意和指数的运算易得a+b=1，由基本不等式可得ab（）2=，注意等号成立的条件即可【解答】解：函数g（x）=2x，且有g（a
9、）g（b）=2，2=2a2b=2a+b，a+b=1，a0且b0，ab（）2=，当且即当a=b=时，ab取最大值，故答案为：5方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为2【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案【解答】解：lg（2x+1）+lgx=1，lg（x（2x+1）=lg10，解得：x=2故答案为：26在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，则B=【考点】余弦定理【分析】根据余弦定理可得b2=a2+c22accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可【解答】
10、解：由余弦定理得b2=a2+c22accosB，且a=1，b=，c=，所以cosB=，得到B为钝角即B（，），所以B=故答案为7设x0为函数f（x）=2x+x2的零点，且x0（m，n），其中m，n为相邻的整数，则m+n=1【考点】函数零点的判定定理【分析】通过f（0）0，f（1）0，可得 f（0）f（1）0，故函数f（x）=2x+x2的零点在区间（0，1）内，由此可得k的值，【解答】解：函数f（x）=2x+x2的零点为x0，且x0（m，n），f（0）=1+02=10； f（1）=2+12=10，f（0）f（1）0，故函数f（x）=2x+x2的零点在区间（0，1）内，故m=0，n=1，m+n=1
11、故答案为：18定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）f（x+5）=3，f（1）=2，则f是一个周期为10的周期函数，f（1）f（6）=3，从而能求出结果故答案为：【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）f（x+5）=3，f（x+5）f（x+10）=3，f（x）=f（x+10），f（x）是一个周期为10的周期函数，f（1）=2，f，f（1）f（6）=3，f（6）=f=故答案为：9已知，则=arccos【考点】三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式和三角函数的反函数进行解答【解答】解：，cos=又，=arccos故答案是：arccos10设公比为q（q0）的等比数列an的前n项和为S
12、n若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=【考点】等比数列的性质【分析】经观察，S4S2=a3+a4=3（a4a2），从而得到q+q2=3（q21），而q0，从而可得答案【解答】解：等比数列an中，S2=3a2+2，S4=3a4+2，S4S2=a3+a4=3（a4a2），a2（q+q2）=3a2（q21），又a20，2q2q3=0，又q0，q=故答案为：11如图，在ABC中，已知AB=4，AC=6，BAC=60，点D，E分别在边AB，AC上，且，点F为DE中点，则的值为4【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量的数量积的定义和向量的三角形法则，结合向量的平方即为模的平方，注意运用平面向
13、量基本定理，将所有向量统一为、的式子，计算即可得到【解答】解：由AB=4，AC=6，BAC=60，即有=46cos60=24=12，则=（）（）=（）（）=（）（）=+=+16=2+64=4故答案为：412若不等式|x+a|2在x1，2时恒成立，则实数a的取值范围是3，0【考点】绝对值不等式的解法【分析】直接求出绝对值不等式的解集，利用恒成立直接求出a的值即可【解答】解：不等式|x+a|2可得x2a，2a，不等式|x+a|2在x1，2时恒成立，解得a3，0实数a的取值范围是：3，0故答案为：3，013设集合A=a1，a2，a3，a4，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B=1，3，5，
14、8，则集合A=3，0，2，6【考点】集合的确定性、互异性、无序性【分析】由题意可知，集合A的所有三元子集都是从A中的四个元素中任意取的三个元素构成的集合，总共4种情况，每个元素被取了3次，集合B中的元素应是4种情况的3个元素的和【解答】解：在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以3（a1+a2+a3+a4）=（1）+3+5+8=15，故a1+a2+a3+a4=5，于是集合A的四个元素分别为5（1）=6，53=2，55=0，58=3，因此，集合A=3，0，2，6故答案为3，0，2，614把自然数按如图所示排列起来，从上往下依次为第一行、第二行、第三行，中间用虚线围起来的一列数，从上往下依
15、次为1、5、13、25、，按这样的顺序，排在第30个的数是1741【考点】归纳推理【分析】中间用虚线围的一列，从上至下，相邻两个数都相差4，由此可求出第30个数【解答】解：中间用虚线围的一列，从上至下：第一个数为1，第二个数为5=1+41，第三个数为13=1+41+42，第四个数为25=1+41+42+43，则第30个数为1+41+42+43+49=1+4（1+2+3+29）=1+4=1741故答案为1741二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律不得分.15如果ab0，那么下列不等式成立的
16、是（）ABabb2Caba2D【考点】不等关系与不等式【分析】由于ab0，不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论【解答】解：由于ab0，不妨令a=2，b=1，可得=1，故A不正确可得ab=2，b2=1，abb2，故B不正确可得ab=2，a2=4，aba2，故C不正确故选D16已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=+（，为实数），则m的取值范围是（）A（，2）B（2，+）C（，+）D（，2）（2，+）【考点】平面向量坐标表示的应用【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线，则平面内的任一向量都可以用向
17、量、来线性表示，即存在唯一的实数对、，使=+成立根据此理论，结合已知条件，只需向量、不共线即可，因此不难求出实数m的取值范围【解答】解：根据题意，向量、是不共线的向量=（1，2），=（m，3m2）由向量、不共线解之得m2所以实数m的取值范围是m|mR且m2故选D17下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x2x2=0”的必要不充分条件C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D“tanx=1”是“x=”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】对选项逐个进行判断，即可得出结论【解答】解：A：命题“若x2=1，x=
18、1”的否命题是“若x21，则x1”，故不正确；B：“x=1”是“x2x2=0”的充分不必要条件，故不正确；C：命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，所以命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题，故正确；D：“tanx=1”是“x=”的必要不充分条件，故不正确故选：C18已知函数f（x）=，x2，4对于满足2x1x24的任意x1，x2，给出下列结论：x1f（x2）x2f（x1）x2f（x1）x1f（x2）（x2x1）f（x2）f（x1）0（x2x1）f（x2）f（x1）0其中正确的是（）ABCD【考点】函数单调性的性质【分析】易得函数f（x）=在2，4上为减函数，故由减
19、函数的性质得出结论【解答】解：g（x）=4（x2）2在2，4上为减函数，由复合函数的单调性法则可知f（x）=在2，4上为减函数，又2x1x24，f（x2）f（x1），x2f（x1）x1f（x2） 故正确；又由x2x10，f（x2）f（x1）0得 （x2x1）f（x2）f（x1）0 故正确故选C三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19已知（1），求（2）若与的夹角为60，求|；（3）若与垂直，求与的夹角【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）由已知可得且方向相同，然后直接由数量积公式求值；（2）由已知求出，开方得答案；（3）
20、与垂直，可得，再由数量积求夹角公式求得与的夹角【解答】解：（1），且方向相同，因此；（2）与的夹角为60，=，因此；（3）与垂直，整理得，令与的夹角为，因此cos=，与的夹角20某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n天（1n30，nN+）的日销售量为f（n）（单位；台）函数f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为m（mN+），已知1nm时，函数f（n）=32n（1）当mn30时，求函数f（n）的解析式；（2）求m的值及该店前m天此型号空调的销售总量；（3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号
21、空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）根据题意，当mn30时，设f（n）=kn+b，（nN*），利用f（16）=40，f（30）=68，求出参数，进而得到f （n）的表达式；（2）利用1nm时，函数f（n）=32n；当mn30时，f（n）=2n+8，建立方程，求出m，利用等差数列的求和公式求出前m天此型号空调的销售总量；（3）设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量220+570，求出x，即可得出结论【解答】解：（1）根据题意，当mn30时，设f（n）=kn+b，（nN*）f（16）=40，f（30）=68，k=2，b=8，f（
22、n）=2n+8（mn30），（2）1nm时，函数f（n）=32n；当mn30时，f（n）=2n+8，32m=2m+8，m=8该店前m天此型号空调的销售总量=220台；（3）设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量220+570，x2+9x3860，x18，设该店此型号空调销售到第18天时，才可被认为开始旺销21如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cos，sin），B（cos2，sin2），C（cos3，sin3）（0），分别设SOAC，SABC的面积为S1和S2（1）用sin、cos表示S1和S2；（2）求+的最大值及取最大值时的值【考点】单位圆与周期性【分析】（1
23、）根据三角函数定义，有xOA=，xOB=2，xOC=3，xOA=AOB=BOC=，可求得S1的值，由S1+S2=四边形OABC的面积即可求S2的值（2）由（1）知， +=sin（）+1，可得，从而可求得sin（）sin=即可求得最大值及取最大值时的值【解答】解：（1）根据三角函数定义，有xOA=，xOB=2，xOC=3，xOA=AOB=BOC=，S1=sin（3）=sin2，S1+S2=四边形OABC的面积=，S2=sinsin2=sin（1cos）（2）由（1）知，+=sincos+1=sin（）+1，0，sin（）sin=，+的最大值为，此时的值为22已知a，b为实数，函数f（x）=x2+
24、ax+1，且函数y=f（x+1）是偶函数，函数g（x）=bf（f（x+1）+（3b1）f（x+1）+2在区间（，2上的减函数，且在区间（2，0）上是增函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数b的值；（3）设h（x）=f（x+1）2qx+1+2q，问是否存在实数q，使得h（x）在区间0，2上有最小值为2？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由【考点】二次函数的性质【分析】（1）利用函数y=f（x+1）是偶函数，求函数f（x）的解析式；（2）利用复合函数的单调性，求实数b的值；（3）分类讨论，求出函数的最小值，利用h（x）在区间0，2上有最小值为2，得出结论【解答】解：（1）函数y=f（x+
25、1）是偶函数，（x+1）2+a（x+1）+1=（x+1）2+a（x+1）+1，4x+2ax=0，a=2，f（x）=（x1）2；（2）g（x）=bf（f（x+1）+（3b1）f（x+1）+2=bx4+（5b1）x2+2b，令t=x2，u（t）=bt2+（5b1）t（b2），在区间（，2上，t=x2是减函数，且t4，+），由g（x）是减函数，可知u（t）为增函数；在区间（2，0）上，t=x2是减函数，且t（0，4），由g（x）是增函数，可知u（t）为减函数，由u（t）在（0，4）上是减函数，（4，+）上是增函数，可得二次函数开口向上，b0，且=4，b=；（3）h（x）=f（x+1）2qx+1+2q
26、=x2=2qx+2q，x0，2q0，ymin=h（0）=1+2q=2，q=；0q2，ymin=h（q）=q2+2q+1=2，q=3或1，舍去；q2，ymin=h（2）=2q+5=2，q=，综上所述，q=或23已知等差数列an的首项为c，公差为d，等比数列bn的首项为d，公比为c，其中c，dZ，且a1b1a2b2a3（1）求证：0cd，并由b2a3推导c的值；（2）若数列an共有3n项，前n项的和为A，其后的n项的和为B，再其后的n项的和为C，求的比值（3）若数列bn的前n项，前2n项、前3n项的和分别为D，G，H，试用含字母D，G的式子来表示H（即H=f（D，G），且不含字母d）【考点】等比数
27、列的性质；等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式可以推知0cd，结合已知条件a1b1a2b2a3列出不等式组：，通过解该不等式组推导c的值；（2）根据等差数列的通项公式和性质推知A=Sn，B=S2nSn，C=S3nS2n，易得B、A+C=2B，结合代数式的变形来求的值；（3）根据等比数列的前n项和公式分别表示出D、G、H，然后找到它们的数量关系【解答】解：（1）已知a1=c，a2=c+d，a3=c+2d，b1=d，b2=dc，由b1a2可知c0，因此0cd，由a1b1a2b2a3可得：cdc+dcdc+2d，且c，dZ，因此可得不等式组： 1c3又因为cZ，因此c=2；（2）数列an的通项为数列an=2+（n1）d，Sn=n2+（2）n，A=Sn，B=S2nSn，C=S3nS2n，B=（4n2n2）+（2）（2nn）=3n2+（2）n，可得A+C=n2+（2）n+（9n24n2）+（2）（3n2n）=3dn2+（2）2n，可得A+C=2B，因此=；（3）数列bn的通项为bn=d2n1因此D=d（2n1），G=d（22n1），H=d（23n1）所以，因此H=D（1）2+G=+DG2017年1月20日
