1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时椭圆的标准方程的应用及直线与椭圆的位置关系素养目标定方向 课程标准学法解读1进一步巩固椭圆的几何性质2掌握直线与椭圆的位置关系及其应用1类比直线与圆的位置关系了解直线与椭圆的位置关系(数学抽象)2会求直线与椭圆相交所得的弦长(数学运算)3掌握直线与椭圆、离心率等相关的综合问题(数学运算、逻辑推理)必备知识探新知 知识点1 点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上_1_；点P在椭圆内部_1_；点P在椭圆外部_1_知识点2 直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元
2、二次方程位置关系解的个数的取值相交两解_0相切一解_0相离无解_0知识点3 直线与椭圆相交弦长设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|_|x1x2|_|y1y2|_，一般地，|x1x2|用根与系数关系求解关键能力攻重难 题型探究题型一与椭圆相关的应用问题典例1有一个椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？解析分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设矩形ABCD的各顶点都
3、在椭圆上因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直于其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴都对称已知椭圆的长轴长2a100，短轴长2b60，则椭圆的方程为1设顶点A的坐标为(x0，y0)，x00，y00，则1，得y(502x)根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S4x0y0由于xyx(502x)()2(x)2，因此当x时，xy取得最大值，此时S也取得最大值这时x025，y015矩形ABCD的周长为4(x0y0)4(2515)160(m)因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且短轴相距25 m的直线，这两条直线与椭圆的交点
4、就是所划定的矩形区域的顶点；这个矩形区域的周长为160 m规律方法(1)解决与椭圆相关的应用题的基本策略：通过求解椭圆的方程来研究它们的性质；应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关系，再结合代数知识来求解(2)利用椭圆解决实际问题的基本步骤：建立适当的坐标系；求出椭圆的标准方程(待定系数法)；根据椭圆的方程及性质解决实际问题【对点训练】某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A距地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为k km，则飞船运行轨道的短轴长为(A)A2BCmnD2mn解析由题意可得acmk，acnk，故(ac)(ac)(mk)(nk)即a2c2b2
5、(mk)(nk)，所以b，所以椭圆的短轴长为2，故选A题型二直线与椭圆的位置关系典例2已知直线l：y2xm，椭圆C：1试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？解析直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240，关于x的一元二次方程的判别式(8m)249(2m24)8m2144(1)由0，得3m3于是，当3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点(2)由0，得m3也就是当m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭
6、圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)由0，得m3或m3从而当m3或m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点规律方法直线与椭圆位置关系的判断方法【对点训练】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围解析由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范围为题型三弦长及中点弦问题典例3已知动点P与平面上两定点A(，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值
7、(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：ykx1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|时，求直线l的方程解析(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPAkPB，化简整理得y21故点P的轨迹方程C是y21(x)(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx016k20，x1x2，x1x20|MN|，整理得k4k220，解得k21或k22(舍)k1，经检验符合题意直线l的方程是yx1，即xy10或xy10规律方法1研究直线与椭圆的位置关系，联立方程组消元后用判别式讨论2求直线被椭圆截得弦长，(一)是求出两交点坐标，用两点间距离公式；(二)
8、是用|AB|x1x2|y1y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)3有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制【对点训练】P(1,1)为椭圆1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程解析解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，弦的两端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，得k故弦所在直线方程为y1(x1)，即x2y30解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2
9、)，则1，1，两式相减得0，x1x22，y1y22，(y1y2)0，k此弦所在直线方程为y1(x1)，即x2y30题型四与椭圆有关的综合问题典例4已知椭圆E：1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且MF1F2为面积是1的等腰直角三角形(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值解析(1)由题意可得M(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，由MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a21，bc，且a2b2c2，解得bc1，a，则椭圆E的方程为y21(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立3x24mx2m220，有
10、16m212(2m22)0，即m，x1x2，x1x2，可得AB中点横坐标为，|AB|，以AB为直径的圆与y轴相切，可得半径r|AB|，即，解得m(，)，则m的值为规律方法解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视【对点训练】(2020山东潍坊高二期末改编)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，A1，A2分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，A1BA2的面积为2直线l过点D(1,0)且与椭圆E
11、交于P，Q两点(1)求椭圆E的标准方程；(2)求OPQ面积的最大值解析(1)由题意知e，即a2bA1BA2的面积为2，ab2，解得a2，b1，椭圆E的标准方程为y21(2)PQ斜率不存在时，易知P(1，)，Q(1，)，此时SOPQ，当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为yk(x1)，k0设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将yk(x1)代入y21，整理可得(14k2)x28k2x4k240，x1x2，x1x2，|x1x2|，SOPQ1|y1y2|x1x2|，令14k2t，t1，SOPQ，综上可知SOPQ故OPQ面积的最大值易错警示典例5已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短轴长之比为21
12、，若圆x2y24y30上的点P到此椭圆上点Q的最大距离为1，求此椭圆的方程错解设椭圆方程为1(ab0)，ab21，a2b，椭圆方程为1又圆心为A(0,2)，半径r1，设Q(x，y)，则x24b24y2，|QA|2x2(y2)2324b2当y时|QA|最大由11，得b1椭圆方程为y21辨析由已知得出方程，设Q(x，y)，求圆心A(0,2)到点Q的距离，|AQ|的距离加上圆半径即为|PQ|的最大值，可求得|PQ|的函数关系式转化为二次函数关系式正解由已知，设椭圆方程为1(ab0)，则ab21，即a2b椭圆方程化为1，其中|y|b，|x|2b已知圆的标准方程为x2(y2)21，圆心A(0,2)，半径R1设Q(x，y)，则x24b24y2|QA|2x2(y2)24b24y2(y2)2324b2当b时，|y|b，|AQ|max|PQ|maxR|AQ|max11解得b1，符合条件当b时，|y|b，|AQ|max|b2|，|PQ|maxR|AQ|max1|b2|1解得b2(舍去)所求椭圆方程为y21- 9 - 版权所有高考资源网
