1、高考资源网（） 您身边的高考专家1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y
2、0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.【知识拓展】1直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR)2两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.3两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.4过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC
3、1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(
4、5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()1(2016天津模拟)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析直线x2y20可化为yx1，所以过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程可设为yxb，将点(1,0)代入得b.所以所求直线方程为x2y10.2(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B2C.1 D.1答案C解析依题意得1.解得a1或a1.a0，a1.
5、3已知p：直线xy10与直线xmy20平行，q：m1，则p是q的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案A解析由于两直线平行的充要条件是，即m1.4已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_答案xy10或xy30解析设l1的方程为xyc0，则.|c1|2，即c1或c3.直线l1的方程为xy10或xy30.5(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)设不
6、同直线l1：2xmy10，l2：(m1)xy10.则“m2”是“l1l2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案C解析当m2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立当l1l2时，显然m0，从而有m1，解得m2或m1，但当m1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.(2)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.试判断l1与l2是否平行；当l1l2时，求a的值解方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx
7、3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，a1时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2a1，故当a1时，l1l2.方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由()1a.方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0a.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)
8、在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin 0时，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kZ，此时两直线的斜率相等故当k，kZ时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin ，所以k，kZ.又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.故当k，kZ时，l1l2.(2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要
9、条件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.题型二两条直线的交点与距离问题例2(1)(2016长沙模拟)求经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为_(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_答案(1)x2y70(2)x3y50或x1解析(1)由得l1与l2的交点坐标为(1,3)设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，c7.所求直线方程为x2y70.(2)方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即
10、|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意故所求直线l的方程为x3y50或x1.方法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为(1,4)直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x
11、，y的系数化为相等(1)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.(2)正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三条边所在直线的方程解点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一条边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与
12、x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例3过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于
13、直线对称例4如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A3 B6 C2 D2答案C解析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)则光线经过的路程为|CD|2.命题点3直线关于直线的对称问题例5(2016泰安模拟)已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点
14、为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线解(1)设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，kPPkl1，即31.又
15、PP的中点在直线3xy30上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7)(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l的对称直线方程为20，化简得7xy220.(3)在直线l：3xy30上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1)l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.18妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系典例1求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直
16、线l的方程思想方法指导因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1)规范解答解依题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系可以考虑用直线系方程求解典例2求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程
17、为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系典例3求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解规范解答解方法一解方程组得P(0,2)因为l3的斜率为，且ll3，所以直线l的斜率为，由斜截式可知l的方程为yx2，即4x3y60.方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.
18、直线l的方程为4x3y60.1设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析(1)充分性：当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40平行；(2)必要性：当直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行时有a2或1.所以“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件，故选A.2(2016合肥模拟)已知两条直线l1：xy10，l2：3xay20且l1l2，则a等于()A B. C3 D3答案C解析由l1l2，可得131a0
19、，a3.3(2016山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80答案A解析由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知A正确4(2017兰州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是()A. B2C3 D4答案B解析
20、点O(0,0)关于直线xy10的对称点为O(1,1)，则虫子爬行的最短路程为|OA|2.故选B.5(2016绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B.C. D.答案C解析因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为，故选C.6(2016厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn等于()A. B.C. D.答案A解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(
21、m，n)连线的中垂线，于是解得故mn，故选A.7(2016忻州训练)已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则ab_.答案0或解析由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，ab的值为0或.8已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行直线间的距离为_答案112解析若直线l1的倾斜角为，则aktan 1，故a1；若l1l2，则a11(1)0，故a1；若l1l2，则a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d2.9点P(2,1)到直线l：mxy30(mR)的最大距离是_
22、答案2解析直线l经过定点Q(0，3)，如图所示，由图知，当PQl时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|2，所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.10点P为x轴上的一点，A(1,1)，B(3,4)，则|PA|PB|的最小值是_答案解析点A(1,1)关于x轴的对称点A(1，1)，则|PA|PB|的最小值是线段AB的长为.11已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)l1l2，a(a1)b0，又直线l1过点(3，1)，3ab40.故a2，b2.(2
23、)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.故a2，b2或a，b2.12(2016北京朝阳区模拟)已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程解依题意知：kAC2，A(5,1)，lAC为2xy110，联立lAC、lCM得C(4,3)设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，代入2xy50，得2x0y010，B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.*13.已知三条直线：l1：2xya
24、0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)若点P满足条件，则点P在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以直线l的方程为2x0y00或2x0y00；若点P满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能联立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)；联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在点P同时满足三个条件- 15 - 版权所有高考资源网
