1、42 圆锥曲线的共同特征43 直线与圆锥曲线的交点1掌握圆锥曲线的共同特征(重点)2了解直线与圆锥曲线的三种位置关系(重点)3掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法(难点)基础初探教材整理 1 圆锥曲线的共同特征阅读教材 P87“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题.圆锥曲线共同特征e 的值或范围椭圆圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值 e0e1抛物线e1双曲线e11判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.()(2)曲线上的点 M(x，y)到定点(5,0)的距离和它到定直线 l：x165 的比是常数5
2、4，则曲线是双曲线()(3)直线 yx 与抛物线 y2x 的交点是(0,0)与(1,1)()【解析】根据圆锥曲线的共同特征知(1)中的比不可能大于 1.(2)正确(3)由yxy2x 解得(0,0)，(1,1)，故交点为(0,0)，(1,1)【答案】(1)(2)(3)2如果双曲线x216y291 上一点 P 到右焦点的距离等于 3，那么点 P 到右准线的距离是_【解析】由题知 a4，b3，c5，e54.由双曲线的第二定义，设所求距离为 d，则3d54.d125.【答案】125教材整理 2 曲线的交点阅读教材 P89“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题设曲线 C1：f(x，y)0，C2：
3、g(x，y)0，求曲线 C1 与 C2 的交点，即求方程组fx，y0gx，y0 的实数解1过点(2,4)与抛物线 y28x 只有一个公共点的直线有()A1 条 B2 条C3 条D4 条【解析】由于点(2,4)在抛物线 y28x 上，所以满足条件的直线有 2 条，一条为切线，一条与 x 轴平行【答案】B2求直线 yx1 与 x2y21 的交点【解】两方程联立得yx1，x2y21，消元得 x2(x1)21.则 2x2，x1，代入 yx1 得 y0.所以交点坐标为(1,0)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组
4、合作型圆锥曲线的共同特征的应用(1)已知动点 P(x，y)满足|3x4y1|513 x12y52，则动点 P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线D直线【自主解答】点 P(x，y)到直线 3x4y10 的距离为 d|3x4y1|5；点 P(x，y)到 A(1,5)的距离为|PA|x12y52，|PA|d 31，点 P 的轨迹是双曲线【答案】B(2)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为()A.2B 22C.12D 24【自主解答】结合题意，由椭圆第二定义知 e221 22.【答案】B(3)椭圆x225y291 上有一点 P，它到左准线的距离等
5、于 2.5，那么 P 到右焦点的距离为_【导学号：32550094】【自主解答】设 F1、F2 分别为左、右焦点，P 到左准线的距离 d2.5，则 P 到左焦点的距离|PF1|ed45522.|PF2|2a|PF1|1028.【答案】81圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程2利用圆锥曲线的共同特征可将其上一点到焦点的距离与相应准线的距离进行转化，进而实现求解直线与圆锥曲线的位置关系 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为
6、C.(1)求轨迹 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2,1)求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围【精彩点拨】在第(1)问中，可先设点 M(x，y)，由题意可求得点 M 的轨迹方程在第(2)问中，可先由点斜式把直线方程写出来，将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立，需注意考虑 k0 及 k0 的情况，当 k0 时，联立后得到的关系式，还需讨论方程的判别式 及直线与 x 轴交点的横坐标的正负【自主解答】(1)设点 M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即x12y2|x|1，化简整理得 y22(|x|x)故点 M 的轨迹 C
7、的方程为 y24x，x0，0，x0.(2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线 l 的方程为 y1k(x2)由方程组y1kx2，y24x，可得 ky24y4(2k1)0.当 k0 时，此时 y1.把 y1 代入轨迹 C 的方程，得 x14.故此时直线 l：y1 与轨迹 C 恰好有一个公共点14，1.当 k0 时，方程的判别式为 16(2k2k1)设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0)，则由 y1k(x2)，令 y0，得 x02k1k.(a)若0，x00，由解得 k1，或 k12.即当 k(，1)12，时，直线 l 与 C1 没有公共点，与 C2
8、有一个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点(b)若0，x00，或0，x00，由解得 k1，12，或12k0.即当 k1，12 时，直线 l 与 C1 只有一个公共点，与 C2 有一个公共点当 k12，0 时，直线 l 与 C1 有两个公共点，与 C2 没有公共点故当 k12，0 1，12 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点(c)若0，x00，由解得1k12，或 0k12.即当 k1，12 0，12 时，直线 l 与 C1 有两个公共点，与 C2 有一个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点综合，可知，当 k(，1)12，0时，直线 l 与轨迹 C恰好有一个
9、公共点；当 k12，0 1，12 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k1，12 0，12 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点1用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当 0 时，直线与圆锥曲线相交；当 0 时，直线与圆锥曲线相切；当 0 时，直线与圆锥曲线相离2联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况再练一题1若直线 mxny4 与圆 x2y24 没有公共点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆x29y241 的公共点个数为()A0 个B1 个C2 个D不确定【解析】由题意，得|4|m2n22，即 m2n24，m29 n24 m2n240，则直线
10、l 与曲线 C 相交；若 0，则直线 l 与曲线C 相切；若 0，直线 l 与曲线 C 相离当 a0 时，即得到一个一次方程，则 l 与 C 相交，且只有一个交点此时，若 C 为双曲线，则 l 平行于双曲线的渐近线；若 C 为抛物线，则 l 平行于抛物线的对称轴当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交 若直线 ykx1 与焦点在 x 轴上的椭圆x25y2m1 总有公共点，求 m的取值范围【精彩点拨】几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求 m 的范围代数法：联立直线与椭圆方程组成
11、方程组，根据方程组有解来求 m 的范围【自主解答】法一：由于椭圆的焦点在 x 轴上，知 0m5.又直线与椭圆总有公共点，直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上，025 12m1，即 m1，故 m 的取值范围是 m1,5)法二：由椭圆方程及椭圆焦点在 x 轴上知 0m5.由ykx1，x25y2m1得(m5k2)x210kx5(1m)0，又直线与椭圆有公共点，上述方程的 0 对一切 k 都成立，即(10k)24(m5k2)5(1m)0，亦即 5k21m 对一切 k 都成立，1m0，即 m1，故 m 的取值范围是 m1,5)解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路
12、易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果再练一题2求过点(0,1)，且与抛物线 y22x 有且只有一个公共点的直线方程【解】当所求直线斜率不存在，即直线垂直 x 轴时，因为过点(0,1)，所以 x0，即 y 轴，它正好与抛物线 y22x 相切当所求直线斜率为零时，直线为 y1 平行 x 轴，它正好与抛物线 y22x只有一个交点一般地，设所求的过点(0,1)的直线为 ykx1(k0)，则ykx1，y22x，k2x2(2k2)x10.令 0，解得 k12，所求直线为 y12x1.综上，满足条件的直线为：y1 或 x0 或 y12x1.探究
13、2 如何解决直线与圆锥曲线的相交弦长问题？【提示】(1)正确求出直线与圆锥曲线的交点坐标，代入两点间距离公式易求弦长(2)利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤为：联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程；设出交点坐标 A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根与系数的关系求出 x1x2，x1x2，进而得到(x1x2)2，(y1y2)2.弦长|AB|x1x22y1y22.1k2|x1x2|11k2|y1y2|，(3)解决弦的问题，大多涉及到圆锥曲线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线与圆锥曲线联立，转化为关于 x 或 y 的一元二次方程，然后利用
14、根与系数的关系，这样避免求交点尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用(4)过圆锥曲线的焦点的弦长(简称焦点弦)问题，也可用定义来解决例如抛物线的焦点弦问题 若直线 yx1 与双曲线 x2y221 相交于 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离【精彩点拨】解方程组求出直线与双曲线的交点 A、B 的坐标，或者将方程组消元为一元二次方程，求出交点的横坐标之差的平方与纵坐标之差的平方，代入两点间距离公式可解【自主解答】联立直线方程与双曲线方程得方程组yx1，x2y221，消去 y，得 x22x30.法一：由方程解得 x11，x23，代入 yx1 得 y10，y24，于是 A，B 两点坐标分别为(
15、1,0)，(3，4)，则|AB|1320424 2.法二：设方程的两根为 x1，x2，由根与系数的关系得 x1x22，x1x23，则(x1x2)2(x1x2)24x1x216，(y1y2)2(x11)(x21)2(x1x2)216，则|AB|x1x22y1y22 16164 2.直线与圆锥曲线相交，弦长多通过根与系数的关系，设而不求得到，这样可以避免求交点坐标的繁杂运算在求参数范围时还要注意“相交”(0)这个条件再练一题3已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2y10 截得的弦长为 15，求此抛物线方程【解】设抛物线方程为 x2ay(a0)，由x2ay，x2y10，消去 y，得 2
16、x2axa0.a28a0，a0 或 a8.设直线与抛物线的交点为(x1，y1)、(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2a2，x1x2a2.由弦长公式得 1k2x1x224x1x2 15，54a24 2a 15，整理得 a28a480.解得 a12 或 a4.符合题意所以，所求的抛物线方程为 x212y 或 x24y.构建体系1平面内到定点(0，3)的距离与到定直线 y3 的距离之比为12的动点的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线D直线【解析】由于点(0，3)不在直线 y3 上，且 0121，所以，由圆锥曲线的统一定义知：动点的轨迹是椭圆【答案】A2已知双曲线x23y241，则其离心率为()
17、A.73B 212C.72D 213【解析】由双曲线x23y241 得 a23，b24，则 a 3，c a2b2 7，故离心率 eca 213.【答案】D3函数 yax21 的图像与直线 yx 相切，则 a()A.18 B14C12 D1【解析】函数 yax21 的图像与直线 yx 相切，它们有且仅有一个交点由yax21，yx，得 xax21，即 ax2x10，14a0，a14.【答案】B4已知直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支相交于不同两点，则 k 的取值范围是_【导学号：32550095】【解析】由ykx2，x2y26得(1k2)x24kx100，直线 ykx2与双曲线 x2y26 的右支相交于不同两点，即方程有两个不同的正实数解，所以16k2401k20，4k1k20，101k20，解得 153 k1.【答案】153，15若直线 yx1 与椭圆 x2y221 相交于 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离【解】由yx1x2y221消去 y 得 3x22x10，|AB|112232434 23，A、B 两点间的距离为4 23.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
