1、江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（10）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1若集合A=1，m2，B=1，2，4，且AB=2，则实数m的值为_2若复数z满足（1i）z=2（i为虚数单位），则|z|=_3现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为_4已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是_5若，是两个单位向量，且，则，的夹角为_6如图，该程序运行后输出的结果为_7函数，x，0的单调递增区间为_8若等比数列an满足am3
2、=4且（mN*且m4），则a1a5的值为_9过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为_10设函数y=f（x）满足对任意的xR，f（x）0且f2（x+1）+f2（x）=9已知当x0，1时，有f（x）=2|4x2|，则的值为_11椭圆（ab0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若FAB的周长最大时，FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为_12定义运算ab=，则关于非零实数x的不等式（x+）48（x）的解集为_13若点G为ABC的重心，且AGBG，则sinC的最大值为_14若实数a、b、c、d满足，则（ac）2+（bd）2的最小值为_二、填空题（本大题共6小题
3、，计90分.）15已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值16如图，在四棱锥PABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点（1）求证：PA平面BDE；（2）求证：平面PBC平面PDC17如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛据统计，每批游客A处需发车2辆，B
4、处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元设CDA=，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元（1）写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？18（16分）如图，圆O与离心率为的椭圆T：=1（ab0）相切于点M（0，1）（1）求椭圆T与圆O的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求d12+d22的最大值；若3，求l1与l2的方程19（16分）设函数fn（x）=xn+3ax+b（nN*，a，bR）（1）若a=b=1，求f3
5、（x）在0，2上的最大值和最小值；（2）若对任意x1，x21，1，都有|f3（x1）f3（x2）|1，求a的取值范围；（3）若|f4（x）|在1，1上的最大值为，求a，b的值20（16分）设Sn是各项均为非零实数的数列an的前n项和，给出如下两个命题：命题p：an是等差数列；命题q：等式对任意的n（nN*）恒成立，其中k，b是常数（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n1）和正数M，数列an满足条件a12+an+12M，试求Sn的最大值数学附加题部分21（选修42：矩阵与变换）求曲线2x2
6、2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中，22（选修44：坐标系与参数方程）已知圆C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin+cos=1，求直线l截圆C所得的弦长23正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点（1）求证：AB1平面A1BD；（2）求二面角AA1DB的余弦值24已知数列an满足a1=2，（1）证明：ann（n3）；（2）证明：江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（10）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置
7、上.1若集合A=1，m2，B=1，2，4，且AB=2，则实数m的值为4考点：交集及其运算 专题：集合分析：由AB=2知2是集合A中的元素，列出方程求出m的值即可解答：解：因为A=1，m2，AB=2，所以m2=2，解得m=4，故答案为：4点评：本题考查交集及其运算，属于基础题2若复数z满足（1i）z=2（i为虚数单位），则|z|=考点：复数求模 专题：计算题分析：利用复数的运算法则和复数的模的计算公式即可得出解答：解：复数z满足（1i）z=2（i为虚数单位），（1+i）（1i）z=2（1+i），2z=2（1+i），即z=1+i|z|=故答案为点评：熟练掌握复数的运算法则和复数的模的计算公式是解题
8、的关键3现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可得出解答：解：从5件产品中任意抽取2有=10种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有=6种根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率P=故答案为点评：熟练掌握古典概型的概率计算公式和排列与组合的计算公式是解题的关键4已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题分析：由正
9、六棱锥的底面边长为3，侧棱长为5，根据正六棱锥的几何特征，计算出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式，即可得到答案解答：解：若正六棱锥的底面边长为3则其底面积S=6（3）=又正六棱锥的侧棱长为5故棱锥的高为=4故正六棱锥的体积V=故答案为：点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式，其中根据正六棱锥的几何特征，计算出棱锥的底面面积及棱锥的高，是解答本题的关键5若，是两个单位向量，且，则，的夹角为考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由题意可得 =0，由此求得 cos，=，从而求得 ，的夹角的值解答：解：由题意可得 =0，即 （ ）（ ）=568=5611cos，8=0，解
10、得 cos，=再由，0，可得，=，故答案为 点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于中档题6如图，该程序运行后输出的结果为16考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的b，a的值，当a=4时不满足条件a4，输出b的值为16解答：解：执行程序框图，有a=1，b=1满足条件a4，b=2，a=2满足条件a4，b=4，a=3满足条件a4，b=16，a=4不满足条件a4，输出b的值为16故答案为：16点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查7函数，x，0的单调递增区间为考点：正弦函数的单调性 专题：计算题；三角函数的图像与性质分
11、析：由x，0z=x，利用正弦函数y=sinz在，上单调递增，即可求得答案解答：解：x，0x，令z=x，则z，正弦函数y=sinz在，上单调递增，由x得：x0函数f（x）=2sin（x）在x，0的单调递增区间为，0故答案为，0点评：本题考查正弦函数的单调性，考查整体代入思想的应用，属于中档题8若等比数列an满足am3=4且（mN*且m4），则a1a5的值为16考点：数列递推式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：依题意，可知m+（m4）=8，可求得m=6，从而可知a3=4，再利用等比数列的性质即可求得a1a5的值解答：解：数列an为等比数列，amam4=（mN*且m4），m4，4，m成等差数列
12、，m+（m4）=8，解得：m=6am3=a3=4又a1，a3，a5成等比数列，a1a5=16故答案为：16点评：本题考查等比数列的性质，考查观察、分析与运算能力，属于中档题9过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为42考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程 专题：计算题分析：设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可解答：解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a，r），半径为r，l2：化为3x4y=0所以，解得a=r，或a=3r，由a=r以及可得：a2+14a+13=0，解得a=1或a=13，此时r=3或r=39，所有半径之和为3+39=
13、42由a=3r以及可得：9r218r+13=0，因为=144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42故答案为：42点评：本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力10设函数y=f（x）满足对任意的xR，f（x）0且f2（x+1）+f2（x）=9已知当x0，1时，有f（x）=2|4x2|，则的值为考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由条件求得可得 f（x+2）=f（x），故函数是周期为2的周期函数，可得 =f（），先求得f（）的值，根据f2（x+1）+f2（x）=9，即可求得f（）的值，从而求得 的值解答：解：f2（x
14、+1）+f2（x）=9，即 f2（x+1）=9f2（x），f2（x+2）=9f2（x+1），化简可得 f2（x+2）=99f2（x）=f2（x）再由 函数y=f（x）满足对任意的xR，f（x）0，可得 f（x+2）=f（x），故函数是周期为2的周期函数=f（336）=f（）又 f2（）=9=9f2（），再由当x0，1时，有f（x）=2|4x2|，可得f（）=2|42|=2，故 f2（）=9f2（）=94=5，故f（）=，故=f（）=，故答案为 点评：本题主要考查了抽象函数的求值，同时考查了函数的周期性，属于中档题11椭圆（ab0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若FAB的周长最
15、大时，FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率解答：解：设椭圆的右焦点E如图：由椭圆的定义得：FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2aAE）+（2aBE）=4a+ABAEBE；AE+BEAB；ABAEBE0，当AB过点E时取等号；FAB的周长：AB+AF+BF=4a+ABAEBE4a；FAB的周长的最大值是4a；此时，FAB的面积为2c=ab，a2=2bc，平方得，a4=4（a2c2）c2即4e44e2+1=0e=故答案为：点评：本
16、题主要考查椭圆的简单性质在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口12定义运算ab=，则关于非零实数x的不等式（x+）48（x）的解集为考点：函数单调性的性质 专题：新定义；不等式的解法及应用分析：根据定义先写出4、x的表达式，再按照x的范围把不等式（x+）48（x）等价转化为不等式组，解出即可得到答案解答：解：当x0时，4，令x=0得1x0或x1，令x0得x1或0x1，由定义知，4=，x=，所以（x+）48（x）或或或0x或x2或1x0或x1，所以不等式的解集为：（，0）（0，2，+），故答案为：（，0）（0，2，+）点评：本题考查不等式的解法，考查
17、学生对题目的阅读理解能力，属中档题，解决本题的关键是正确理解符号“”的意义13若点G为ABC的重心，且AGBG，则sinC的最大值为考点：三角形五心 专题：计算题；解三角形分析：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，设AB=2，点C的坐标为（x，y），可得G（，）根据AGBG建立x、y的关系式，化简整理得x2+y2=9，得到点C在以原点为圆心，半径为3的圆上运动（x轴上两点除外）运动点C并加以观察可得当C点在y轴时，C达到最大值，且sinC同时达到最大值，由此结合三角函数公式即可算出sinC的最大值解答：解：设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且=以AB所在直线为x轴，A
18、B中点为原点建立如图所示直角坐标系设AB=2，则A（1，0），B（1，0），设C（x，y），可得G（，）AGBG，点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）由此可得（）2+（）2=1，整理得x2+y2=9因此，点C在以原点为圆心，半径为3的圆上运动（x轴上两点除外）在点C的运动中观察C的变化，可得当C点在y轴时，C达到最大值而且sinC同时达到最大值此时tan=，可得sinC=故选：点评：本题给出三角形的重心G对A、B的张角为直角，求角C的正弦最大值，着重考查了三角形重心的性质、圆的标准方程和三角恒等变换等知识，属于中档题14若实数a、b、c、d满足，则（ac）2+（bd）2的最小值为考点
19、：函数最值的应用 专题：综合题；函数的性质及应用分析：由=1可知点P（a，b）是曲线y=x22lnx上的点，Q（c，d）是直线y=3x4上的点，由导数的几何意义可知，过曲线y=x22lnx上的点P（a，b）且与线y=3x4平行时，|PQ|2=（ac）2+（bd）2有最小值解答：解：=1，点P（a，b）是曲线f（x）=x22lnx（x0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x4上的点，|PQ|2=（ac）2+（bd）2要使|PQ|2最小，当且仅当过曲线y=x22lnx上的点P（a，b）且与线y=3x4平行时f（x）=2x=（x0），由f（x）0得，x1；由f（x）0得0x1当x=1时，f（x）取得极
20、小值，为1作图如下：f（x）|x=a=2a，直线y=3x4的斜率k=3，2a=3，a=2或a=（由于a0，故舍去）b=222ln2=42ln2设点P（2，42ln2）到直线y=3x4的距离为d，则d2=|PQ|2d2=，（ac）2+（bd）2的最小值为故答案为：点评：本题考查函数最值的应用，分析得到点P（a，b）是曲线y=x22lnx上的点，Q（c，d）是直线y=3x4上的点，|PQ|2=（ac）2+（bd）2是关键，也是难点，考查理解题意与等价转化思想的综合应用，考查导数的几何意义及点到直线间的距离，属于难题二、填空题（本大题共6小题，计90分.）15已知函数f（x）=4sinxcos（x+
21、）+（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：（）利用三角恒等变换进行化简，得到f（x）=2sin（2x+），再利用正弦函数的周期性可求得f（x）的最小正周期；（）x2x+，利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值解答：解：（）=所以（）因为，所以所以，所以1f（x）2，当，即时，f（x）min=1，当，即时，f（x）min=2，点评：本题考查两角和的正弦与余弦，考查三角恒等变换的应用，化简f（x）=2sin（2x+）是关键，着重考查正弦函数的单调性与闭
22、区间上的最值，属于中档题16如图，在四棱锥PABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点（1）求证：PA平面BDE；（2）求证：平面PBC平面PDC考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO，证明PAEO，利用直线与平面平行的判定定理证明PA平面BDE（2）在PAC中，推出APC=90，求出PC，然后证明BEDE，BEPC，得到BE面PDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBC平面PDC解答：证明（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO四边形ABCD是菱形，O是AC中点，又E为
23、PC中点PAEO又EO面BDE，PA面BDEPA平面BDE（2）在PAC中，易得APC=90，在PDC中可求得，同理在PBC中可求得在BDE中可得BED=90，即BEDE又PB=BC，E为PC中点，BEPCBE面PDC，又BE面PBC平面PBC平面PDC点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力17如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然
24、后乘同一艘游轮前往C岛据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元设CDA=，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元（1）写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型；正弦定理的应用 专题：导数的综合应用分析：（1）在ACD中，求出相关的角利用正弦定理，求出，表示出所需运输成本为S元关于的函数表达式（2）利用函数表达式，求出函数的导数，通过导数的符号，求解函数的最值解答：解：（1）由题在ACD中，由正弦定理知，得=（2），令S=0，得当时，S0
25、；当时，S0，当时S取得最小值此时，中转点C距A处千米时，运输成本S最小点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力18（16分）如图，圆O与离心率为的椭圆T：=1（ab0）相切于点M（0，1）（1）求椭圆T与圆O的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求d12+d22的最大值；若3，求l1与l2的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的离心率以及经过的特殊点
26、，求出a、b、c，即可求出椭圆方程，圆的方程由题意知：（2）设P（x0，y0），利用l1l2，得到，通过1y01求出的最大值以及点的坐标（3）设l1的方程为y=kx+1，联立方程解得；解得，然后求出B，D，求出中的向量，利用等式得，推出k，然后求出直线方程解答：解：（1）由题意知：解得可知：椭圆C的方程为与圆O的方程x2+y2=1（2）设P（x0，y0）因为l1l2，则，因为所以，因为1y01所以当时取得最大值为，此时点（3）设l1的方程为y=kx+1，由解得；由解得把A，C中的k置换成可得，所以，由得解得所以l1的方程为，l2的方程为或l1的方程为，l2的方程为（16分）点评：本题考查直线与
27、椭圆方程的综合应用，直线方程的求法，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力19（16分）设函数fn（x）=xn+3ax+b（nN*，a，bR）（1）若a=b=1，求f3（x）在0，2上的最大值和最小值；（2）若对任意x1，x21，1，都有|f3（x1）f3（x2）|1，求a的取值范围；（3）若|f4（x）|在1，1上的最大值为，求a，b的值考点：函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用分析：（1）求出以及导数，判断导函数的符号，即可求解函数的最大值，最小值（2）通过对任意x1，x2有|f3（x1）f3（x2）|1，求出，求出导数，通过f3（x）在内为减函数，f3（x）在内为增函数，推出
28、，即可求出a的取值范围（3）利用|f4（x）|在1，1上的最大值为，推出，求出，得到b，然后求出a解答：解（1）在（0，1）内，在（1，2）在（0，1）内，为增函数，在（1，2）内为减函数，又f（2）=1f（0）=1，函数的最大值为f3（1）=3，最小值为f3（2）=1（2）对任意x1，x2有|f3（x1）f3（x2）|1，|f3（1）f3（1）|1从而有|6a2|1又f3（x）在内为减函数，f3（x）在内为增函数，只需，则a的取值范围是（3）由|f4（x）|在1，1上的最大值为，可得，知：，加得，又，将代入，得0a0a=0（16分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值，单调性的判断
29、与应用，考查分析问题解决问题的能力转化思想的应用20（16分）设Sn是各项均为非零实数的数列an的前n项和，给出如下两个命题：命题p：an是等差数列；命题q：等式对任意的n（nN*）恒成立，其中k，b是常数（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n1）和正数M，数列an满足条件a12+an+12M，试求Sn的最大值考点：数列与三角函数的综合；复合命题的真假；数列的求和；数列与函数的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设an的公差为d，原等式可化为，利用恒成立求出k=1，b=0（2）当k
30、=1，b=0时，假设p是否为q的必要条件，即“若对于任意的n（nN*）恒成立，则an为等差数列”通过当n2时，以及n=2时，推出an为等差数列，得到p是否为q的必要条件（3）利用，可设a1=rcos， an+1=rsin，其中设an的公差为d，则an+1a1=nd=rsinrcos，求出公差，推出利用基本不等式求解Sn的最大值解答：解：（1）设an的公差为d，则原等式可化为，所以，即（k1）n+b=0对于nN*恒成立，所以k=1，b=0（2）当k=1，b=0时，假设p是否为q的必要条件，即“若对于任意的n（nN*）恒成立，则an为等差数列”当n2时，由得，即nan（n1）an+1=a1当n=2
31、时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，当n3时，（n1）an1（n2）an=a1，即2an=an1+an+1所以an为等差数列，即p是否为q的必要条件（3）由，可设a1=rcos，an+1=rsin，其中设an的公差为d，则an+1a1=nd=rsinrcos，所以，所以，所以Sn的最大值为（16分）点评：本题考查数列与函数相结合，基本不等式的应用，恒成立问题的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用数学附加题部分21（选修42：矩阵与变换）求曲线2x22xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中，考点：几种特殊的矩阵变换 分析：由已知中，可得MN，P（
32、x，y）是曲线2x22xy+1=0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P（x，y），则有=，得到x=x，y=x+，代入曲线2x22xy+1=0可得变换后的曲线方程解答：解：，MN=，设P（x，y）是曲线2x22xy+1=0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P（x，y），则有=于是x=x，y=x+代入2x22xy+1=0得xy=1，所以曲线2x22xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1 所以曲线2x22xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1点评：本题考查矩阵的乘法、几种特殊的矩阵变换，其中根据已知中的矩阵M，N，计算出MN，是解答的关键2
33、2（选修44：坐标系与参数方程）已知圆C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin+cos=1，求直线l截圆C所得的弦长考点：直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程 专题：计算题；直线与圆分析：通过平方关系式化圆的参数方程为普通方程，化极坐标分为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离，半径，半弦长满足勾股定理，求出半弦长，然后求出弦长即可解答：解：圆C的参数方程为（为参数），所以圆C的方程为 x2+（y2）2=1；圆的圆心坐标（0，2），半径为1，直线l的极坐标方程为sin+cos=1，所以直线l的方程为 x+y=1圆心到直线的距离为：，圆心
34、到直线的距离，半径，半弦长满足勾股定理，故所求弦长为=点评：本题考查圆的参数方程与直线的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力23正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点（1）求证：AB1平面A1BD；（2）求二面角AA1DB的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积，即可证明AB1平面A1BD；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角解答：（1）证明：取BC中点O，连接AO，ABC为正三角形，AOBC，在正三棱
35、柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1，取B1C1中点为O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，AB1面A1BD（2）设平面A1AD的法向量为，令z=1，得为平面A1AD的一个法向量，由（1）知AB1面A1BD，为平面A1AD的法向量，由图可以看出：二面角AA1DB是锐角二面角AA1DB的余弦值为点评：熟练掌握：通过建立如图所示的空间直角坐标系的方法，利用数量积与垂直的关系证明线面垂直；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角24已知数列an满足a1=2，（1）证明：ann（n3）；（2）证明：考点：数学归纳法；数列递推式 专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）直接利用数学归纳法的证明步骤直接证明ann（n3）即可；（2）利用（1）证明的结果，通过类比推理证明解答：证明：（1）因为a1=2，a2=2，所以假设n=k（k3）时不等式成立，即akk（k3）；那么，当n=k+1时，因为，所以，这就是说n=k+1时，不等式也成立，由数学归纳法知，当n3时ann（2）由（1）知，得，所以所以，即，所以，以此类推，得，问题得证点评：本题考查数学归纳法的证明方法的应用，类比推理的应用，考查数学归纳法的证明步骤逻辑推理能力的考查
