1、第二章 圆锥曲线与方程本章小结专题一 圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质是圆锥曲线的重点内容，是历年高考的重点重在考查基础知识、基本思想方法，例如数形结合思想和方程思想等而该部分在高考中多以选择题、填空题为主，为中档题目【例 1】设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，A 是椭圆上的一点，AF2F1F2，原点 O 到直线 AF1 的距离为13|OF1|.证明：a 2b.【证明】由题知 AF2F1F2 及 F1(c,0)，F2(c,0)，不妨设点 A(c，y)，其中 y0.由于点 A 在椭圆上，有c2a2y2b21.即a2b
2、2a2y2b21.解得 yb2a，从而得 A(c，b2a)直线 AF1 的方程为 y b22ac(xc)，整理得b2x2acyb2c0.由题知，原点 O 到直线 AF1 的距离为13|OF1|，即c3b2cb44a2c2.将 c2a2b2 代入上式并化简得 a22b2，即 a 2b.【例 2】求证：双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上任何一点到两条渐近线的距离之积为定值【证明】设 P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两条渐近线方程为 bxay0 和 bxay0，可得 P 到 bxay0 的距离 d1|bx0ay0|a2b2；P 到 bxay0 的距离 d2|bx0ay0|a2b2
3、.d1d2|bx0ay0|a2b2|bx0ay0|a2b2|b2x20a2y20|a2b2.又 P 在双曲线上，x20a2y20b21，即 b2x20a2y20a2b2.d1d2 a2b2a2b2，即 P 到两条渐近线的距离之积为定值【点评】所谓定值，是与 P 点在曲线上的位置无关，为了达到目标明确，可先通过特殊的情况，求出一个常数，猜想其定值专题二 直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题，是解析几何部分综合性最强的问题，也是以往高考的重点和热点问题高考中，大多是以解答题的形
4、式出现且难度较大，往往成为体现试题区分度的题目2这部分内容考查的重点在直线与椭圆、抛物线的位置关系和应用数形结合思想解题，降低了对双曲线的考查要求预测在今后的高考中，本部分内容因其知识、方法的综合性强和能力要求高，仍将成为新高考的重点和热点特别是与其他知识的交汇更应引起同学们的注意【例 3】已知直线 l：ykxb 与椭圆x22y21 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点(1)当 k0,0b0)上移动，动点 N 在线段 MO 的延长线上，且满足|MN|MO|NO|.(1)求动点 N 的轨迹方程；(2)当 p1 时，求|MN|的最小值【解】(1)如图，过 N 作 NN垂直 x 轴于 N，设直线 l
5、：xp 与 x 轴交于 M.设 N(x，y)(x0)，则 N(x,0)，M(p,0)，M、O、N 三点共线，|MN|MO|MN|MO|xpp.由|MN|MO|NO|，得xpp x2y2.x0，p0，将上式整理化简为(p21)x2p2y22pxp20(x0)(2)当 p1 时，N 点轨迹为 y22x1(x0)，设 N(x，y)，M(1，t)由 M、O、N 共线，得yxt.M(1，yx)则|MN|x12yyx2x12xx1x2224.当且仅当 x1x，即 x1 时，等式成立当 x1 时，|MN|的最小值为 4.【点评】本题关键在于能否建立合理的等式，再将等式转化为用动点坐标(x，y)来表示，即可求
6、得动点的轨迹方程专题四 圆锥曲线中的定点、定值、最值问题圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴；抛物线的焦参数等可通过直接计算而得到另外还可用“特例法”和“相关曲线系法”圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，三角函数有界性，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决特别注意函数思想，观察分析图形特征，利用数形结合等思想方法【例 5】已知双曲线 C：x2y231.(1)若 a0，求点 M
7、(a,0)到双曲线 C 上点的距离的最小值 f(a)；(2)已知双曲线 C与双曲线 C 共渐近线，并且点 M(0,3)到C上的点的距离的最小值为 52，求双曲线 C的方程【解】(1)设 P(x，y)为双曲线 x2y231 上任意一点，则|PM|xa2y2 xa23x234xa4234a23.x(，11，)，a40.当a41 时，|PM|min34a2312 3a212；当 0a41 时，|PM|min 1a2|a1|.f(a)12 3a212 a4，|a1|0a 52，52 是点 M 到 C上点的距离的最小值，k0.设 P(x，y)为双曲线 C上的任意一点，则|PM|x2y3213y2ky3243y942k94.y(，3k 3k，)(k0)当 0 3k94，即2716k94，即 k2716时，|PM|min 3k32|3k3|52，k4112 512或12 54112(舍)符合题意的双曲线 C为y23x21 或y23x24112 512.【点评】这是一道以双曲线为背景的最值问题第(1)问是已知方程求最小值；第(2)问是已知最小值求双曲线的方程这两问的解法都是讨论距离函数的最小值问题温示提馨请 做：单元综合测试二PPT文稿（点击进入）
