1、(四)数形结合 直观快捷数形结合思想的含义 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.数形结合思想在解题中的应用 1 构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围 2 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式 3 构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围.典例 若关于x的方程|x|x4kx2有四个不同的实数解，则k的
2、取值范围为_解析 当x0时，显然是方程的一个实数解；当x0时，方程|x|x4kx2可化为1k(x4)|x|(x4)，设f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y 1k，原题可以转化为两函数有三个非零交点数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用则f(x)(x4)|x|x24x，x0，x24x，x0且x4，的大致图象如图所示，由图，易得01k14.所以k的取值范围为14，.答案 14，用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的
3、函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数技法领悟应用体验1函数f(x)3xx24的零点个数是_解析：令f(x)0，则x24 13x，分别作出函数g(x)x24，h(x)13x的图象，由图可知，显然h(x)与g(x)的图象有2个交点，故函数f(x)的零点个数为2.答案：22(2017成都一诊)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1，0时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)|cos x|在52，12 上的所有实数解之和为_解析：因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数f(x)的周期为2.
4、又当x1,0时，f(x)x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数yf(x)与y|cos x|的图象如图所示由图象知关于x的方程f(x)|cos x|在52，12 上的实数解有7个不妨设x1x2x3x4x5x6x7，则由图得x1x24，x3x52，x41，x6x70，所以方程f(x)|cos x|在52，12 上的所有实数解的和为42107.答案：7数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用典例(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)
5、(1，)解析 设yg(x)fxx(x0)，则g(x)xfxfxx2，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0时，由f(x)0，得g(x)0，由图知0 x1，当x0，得g(x)0，由图知x0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)答案 A(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合 f(1)0 可作出函数的图象，利用图象即可求出 x 的取值范围(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答技法领悟应用体验3设A(x，y)|x2(y
6、1)21，B(x，y)|xym0，则使AB成立的实数m的取值范围是_解析：集合A是一个圆x2(y1)21上的点的集合，集合B是一个不等式xym0表示的平面区域内的点的集合，要使AB，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线xym0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m1|21，又m0，所以m 21，故m的取值范围是 21，)答案：21，4若不等式|x2a|12xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_解析：作出y|x2a|和y 12 xa1的简图，依题意知应有2a22a，故a12.答案：，12数形结合思想在解析几何中的应用典例(2017成都二诊)设双曲线C：x2a2y2b21(a
7、0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A 2B 3C2D 5解析 如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQPF2.又PF1PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|2|OQ|2A又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4A在RtF1PF2中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24a216a220a24c2eca 5.答案 D(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中
8、所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离技法领悟应用体验5已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆C上存在点P，使得 APB90，则m的最大值为()A7 B6C5 D4解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|12|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大
9、距离因为|OC|3242 5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.答案：B 6已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_解析：由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SPAC12|PA|AC|12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的
10、最小值，此时|PC|31418|32423，从而|PA|PC|2|AC|2 22，所以(S四边形PACB)min2 12|PA|AC|2 2.答案：2 27已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_解析：因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2,4
11、)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y012，故使APF的周长最小的点P的坐标为2，12.答案：2，12运用数形结合思想分析解决问题的3个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明 总结升华(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的(3)简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单 总结升华
