1、几何证明选讲(选修系列)2教案题型探究三：相似三角形性质定理的应用例3：ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形的边长。思路解析：利用相似三角形的性质定理找到所求正方形边长与已知条件的关系即可解得。解答：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P、N分别在AB、AC上，ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为xcm，PNBC，APNABC。解得x=4.8(cm).答：加工成的正方形零件的边长为4.8cm。题型探究四：直角三角形射影定理的应用例4：如图，在
2、RtABC中，BAC=900，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，求证：AD3=BCBECF。思路解析：题目中有直角三角形和斜边上的高符合直角三角形射影定理的两个条件，选择合适的直角三角形是解决问题的关键。解答：ADBC，ADB=ADC=900，在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2=BEAB，同理CD2=CFAC，BD2CD2= BEABCFAC 又在RtABC中，ADBC，AD2=BDDC 由得AD4= BD2CD2 =BEABCFAC= BEABADBCAD3=BCBECF题型探究五：圆周角定理的应用例5：如图，已知是ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是的直径。求证：A
3、CBC=AECD。解答：连接EC，B=E。AE是的直径，ACE=900。CD是AB边上的高，CDB=900。在AEC与CBD中，E=B，ACE=CDB，AECCBD。，即ACBC=AECD。题型探究六：圆内接四边形及判定定理的应用例6：如图，已知AP是的切线，P为切点，AC是的割线，与交于B，C两点，圆心在PAC的内部，点M是BC的中点。（1）证明：A，P，M四点共圆；（2）求OAM+APM的大小。思路解析：要证A、P、M四点共圆，可考虑四边形APOM的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角相等，进行等量代换，进而求出OAM+APM的大小。解答：（1）连接OP，OM，因为AP与相切于点P，所
4、以OPAP，因为M是的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPA+OMA=1800。由圆心在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆。（2）由（1）得A，P，M四点共圆，所以OAM=OPM，由（1）得OPAP，由圆心在PAC的内部，可知OPM+APM=900，所以OPM+APM=900。题型探究七：圆的切线的性质及判定的应用例7：已知AB是的直径，BC是的切线，切点为B，OC平行于弦AD（如图）。求证：DC是的切线。解答：连接OD。OA=OD，1=2，ADOC，1=3，2=4，3=4。又OB=OD，OC=OC，OBCODC，OBC=ODC。BC是的切线，OBC=900
5、，ODC=900，DC是的切线。题型探究八：与圆有关的比例线段例8：如图所示，已知与相交于A、B两点，过点A作的切线交于点C，过点B作两圆的割线，分别交、于点D、E，DE与AC相交于点P。（1）求证：ADEC；（2）若AD是的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。解答：（1）连接AB，AC是的切线，BAC=D。又BAC=E，D=E，ADEC。（2）设BP=x,PE=y.PA=6，PC=2，由相交弦定理得PAPC=BPPE，xy=12 ADEC, 由可得，DE=9+x+y=16.AD是的切线，DE是的割线，AD2=DBDE=916，AD=12。三、方法提升1、知识重点是平行线等分线段
6、定理、平行截割定理及其推论，是研究相似形最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判断线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。在使用定理和推论的时候，应特别注意对应的问题。 这一部分常见的题型为利用比例计算线段的长度和利用平行关系证明比例式（或等积式），突破难点的关键在于抓住平行找比例，没有平行作平行，多个比例巧过渡，需要注意的是，在图形中添加平行线一般要遵循的以下原则：一是不能破坏给定的条件；二是作出的辅助线要能“一线两用”2、相似三角形的定义、判定和性质是初中已学的内容，但在初中平面几何中没有给出定理的证明，通过本讲知识的学习可以体会逻辑推理、几何证明的重要性，在解题过程中应注意观察基本图形与定理间的关系，通过寻找基本图形把已知和未知联系起来，先明确需要证明哪两个三角形相似，再寻找三角形相似的条件，从而发现证题思路3、相交弦定理、切割线定理及它们的推论和前面的切线长定理一样，揭示了和圆有关的一些线段间的数量关系，这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起，因此在解题中要善于观察图形，对复杂的图形进行分解，找出基本图形和结论，从而准确地解决问题.另外在和圆有关的比例线段的计算问题中，要注意方程的思想的运用.
