1、1 数据链接 真题试做 2 数据聚焦 考点梳理 a3 数据剖析 题型突破 第25讲 点与圆、直线与圆的位置关系 目 录 数据链接 真题试做 命题点 1 直线与圆的位置关系 命题点 2 三角形的内心与外心 直线与圆的位置关系 命题点11.(2019河北,25)如图和图,在ABCD中,AB=3,BC=15,tanDAB=43.点P为AB延长线上一点.过点A作O切CP于点P.设BP=x.(1)如图,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;返回子目录 数据链接 真题试做 1(2)当x=4时,如图,O与AC交于点Q,求CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧 长
2、度的大小;(3)当O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围.返回子目录 图图解:(1)O切CP于点P,OPPC,即CPB=90.由ABCD,得ADBC.tanCBP=tanDAB=,设PC=4k,BP=3k,则BC=+=5k,5k=15,即k=3.PC=12,BP=9.x=9.垂直.返回子目录 返回子目录(2)如图,连接OP,OQ,作CKAB于点K,OHAP于点H,同(1)法得CK=12.AK=AB+BK=12,CK=AK.CAP=ACK=45.AP=7,HP=12AP=72.又PK=5,PC=13.HOP=90-OPH=CPK.RtHOPRtKPC.=,即13=7212.OP=91
3、24.POQ=2PAQ=90,=9148.9148 7,.(3)x18返回子目录 2.(2012河北,25)如图,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,CBO=45,CDAB,CDA=90.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒.(1)求点C的坐标;(2)当BCP=15时,求t的值;(3)以点P为圆心,PC为半径的P随点P的运动而变化,当P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.返回子目录 解:(1)在RtBCO中,CBO=45,BCO=45=CBO.OC=OB=3.又点C在y轴的正半轴上,点C的坐标为(0,3).（2)当
4、点P在点B右侧时,如图,若BCP=15,得PCO=30,故OP=OCtan 30=3,此时t=4+3;当点P在点B左侧时,如图,由BCP=15,得PCO=60,故OP=OCtan 60=3 3,此时t=4+3 3.t的值为4+3或4+3 3.图图(3)由题意知,若P与四边形ABCD的边相切,有以下三种情况:当P与BC相切于点C时,有BCP=90,从而OCP=45,得到OP=3,此时t=1;当P与CD相切于点C时,有PCCD,即点P与点O重合,此时t=4;当P与AD相切时,由题意,得DAO=90,故点A为切点,如图所示,PC2=PA2=(9-t)2,PO2=(t-4)2,于是(9-t)2=(t-
5、4)2+32,解得t=5.6.t的值为1或4或5.6.返回子目录 图返回子目录 3.(2014河北,25)图和图中,优弧 所在O的半径为2,AB=2.点P为优弧 上一点(点P不与A,B重合),将图形沿BP折叠,得到点A的对称点A.(1)点O到弦AB的距离是 ,当BP经过点O时,ABA=;(2)当BA与O相切时,如图,求折痕BP的长;(3)若线段BA与优弧 只有一个公共点B,设ABP=,确定的取值范围.图图160返回子目录(2)如图,作OCAB于点C,连接OB.BA与O相切,OBA=90.在RtOBC中,OB=2,OC=1,sinOBC=12,OBC=30.ABP=12ABA=12(OBA+OB
6、C)=60.OBP=30.过点O作ODBP于点D,则BP =2BD,BD=OBcos 30=3.BP=2 3.图返回子目录(3)如图,点P,A不重合,0.由(1)得,当增大到30时,点A在优弧 上,当030时,点A在O内,线段BA与优弧 只有一个公共点B.由(2)知,增大到60时,BA与O相切,即线段BA与优弧 只有一个公共点B,当继续增大时,点P逐渐靠近点B.点P,B不重合,OBP90.此时=OBA+OBP,OBA=30,120.当60120时,线段BA与优弧 只有一个公共点B.综上所述,的取值范围是030或60120.图返回子目录 4.(2017河北,23)如图,AB=16,O为AB中点,
7、点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧 于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.(1)求证:AP=BQ;(2)当BQ=4 时,求 的长(结果保留);(3)若APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.返回子目录 解:(1)证明:如图,连接OQ,AP,BQ分别与优弧 相切,OPAP,OQBQ,即OPA=OQB=90.又OA=OB,OP=OQ,RtAPORtBQO(HL).AP=BQ.(3)设点M为RtAPO的外心,则M为OA的中点,OM=4.当点M在扇形的内部时,OMOC,4OCrdr2.设圆的半径为r,圆所在平面上任一
8、点到圆心的距离为d,如图,则:位置关系相离相切相交d与r的关系drd rd r直线与圆的公共点的个数 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个 公共点 示意图 直线和圆的位置关系 考点2返回子目录 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.=切线的性质与判定 考点3返回子目录 1.性质:圆的切线 于过切点的半径.2.判定(1)经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线.(2)圆心到直线的距离 半径,则直线是圆的切线.(3)和圆只有 公共点的直线是圆的切线.垂直垂直等于一个返回子目录 3.切线长定理(1)定义:经过圆外一点作圆的一条切线,这一点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长.(2)定理:从
9、圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角.如图,已知PA,PB与O分别相切于A,B,则PA=PB,PO平分APB.相等平分三角形的外接圆与内切圆 考点4返回子目录 1.外接圆(1)定义:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,如图所示,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(2)性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.返回子目录 2.内切圆(1)定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,如图所示,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,内切圆的圆心叫做三角形的内心.(2)性质:三角形
10、内切圆的圆心到三角形三边的距离相等.数据剖析 题型突破 考向 1 点、直线与圆的位置关系 考向 2 切线的性质与判定 考向 3 三角形外接圆与内切圆 点、直线与圆的位置关系（5年考3次）考向1A.当a=-1时,点B在A上B.当a1时,点B在A内C.当a-1时,点B在A外D.当-1a3时,点B在A内返回子目录 1.(2021河北模拟)在平面直角坐标系内,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(a,0),A的半径为2.下列说法中不正确的是()B数据剖析 题型突破 3 返回子目录 2.(2021保定模拟)如图,在ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,点D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆
11、与BC的位置关系是()BA.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定返回子目录 3.(2021原创题)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作P.当P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为()CA.3 B.4 3C.3或4 3D.不确定返回子目录 4.(2021石家庄质检)“已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b,求点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=|00+|1+2计算.”根据以上材料解决下面问题:如图,C的圆心C的坐标为(1,1),半径为12,直线l的表达式为y=-2x+5,点M是直线l上的动点,点N是C上的动点,则M
12、N的最小值是 ()AA.-B.+C.D.返回子目录 5.(2021保定一模)如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=m,D=60,以AB为直径作O.(1)求圆心O到BC的距离;(2)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示);(3)当m取何值时,CD与O相切;(4)当m取何值时,CD与圆有两个交点.返回子目录 解:(1)如图,过点O作OHBC于点H,四边形ABCD是平行四边形,B=D=60.AB=10,OB=5,OH=32 OB=5 32,圆心O到BC的距离5 32.返回子目录(2)分别过点A,O作AECD,OFCD,垂足分别为点E,F,AEOF,OF就是圆心O到CD的距离.四边形A
13、BCD是平行四边形,ABCD,AE=OF.在RtADE中,D=60,sin D=,即sin 60=,32=,AE=32 m,OF=AE=32 m,圆心O到CD的距离OF为32 m.返回子目录(3)OF=32 m,AB为O的直径,且AB=10,当OF=5时,CD与O相切于点F,即32 m=5,m=10 33,当m=10 33,CD与O相切.(4)若O与线段CD有两个公共点,则该圆和线段CD相交,则5m10 33.返回子目录 直线与圆的位置关系还可以用直线与圆的公共点的个数来判断:(1)直线与圆有两个公共点相交;(2)直线与圆只有一个公共点相切;(3)直线与圆没有公共点相离.切线的性质与判定（5年
14、考3次）考向2返回子目录 1.(2021河北三市联考)如图PA,PB分别与O相切于点A,B,点C为O上一点,P=66,则C=()AA.57B.60C.63D.66返回子目录 2.(2021河北中考压轴卷)如图,是用一把直尺、含60角的直角三角板和光盘摆放而成,点A为60角与直尺交点,点B为光盘与直尺唯一交点,若AB=3,则光盘的直径是()AA.6 B.3 C.6D.3返回子目录 3.(2021邯郸质量检测)如图,O的直径AB=4,BC切O于点B,OC平行于弦AD,OC=5,则AD的长为 ()A.B.C.D.B返回子目录 4.(2021河北预测)如图,有两个同心圆,PA切小圆于点A,PB切大圆于
15、点B,若PA=3 cm,PB=2 cm,那么两个圆所围成的圆环的面积为()DA.1 cm2B.5 cm2C.cm2D.5 cm2 返回子目录 5.(2021河北预测)如图,在RtACB中,C=90,AC=3 cm,BC=4 cm,以BC为直径作O交AB于点D.(1)求线段AD的长度;(2)点E是线段AC上的一点,试问:当点E在什么位置时,直线ED与O相切?请说明理由返回子目录 解:(1)在RtACB中,AC=3 cm,BC=4 cm,ACB=90,AB=5 cm;如图,连接CD,BC为直径,ADC=BDC=90;A=A,ADC=ACB,RtADCRtACB,=,AD=2=95.返回子目录(2)
16、当点E是AC的中点时,ED与O相切.理由如下:如图,连接OD.DE是RtADC的中线,ED=EC,EDC=ECD.OC=OD,ODC=OCD,EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90,EDOD.ED与O相切.返回子目录 6.(2021石家庄模拟)如图,AB是O的直径,=,E是OB的中点,连接CE并延长到点F,使EF=CE,连接AF交O于点D,连接BD,BF.(1)求证:直线BF是O的切线;(2)若OB=2,求BD的长.返回子目录 解:(1)证明:如图,连接OC,AB是O的直径,=,AOC=BOC=90.E是OB的中点,OE=BE,又EF=CE,OEC=BEF,COEFBE(SAS)
17、.FBE=90.直线BF是O的切线.返回子目录(2)COEFBE,OB=2,BF=OC=2.在RtABF中,由勾股定理得AF=2 5.AB是O的直径,ADB=90.RtADBRtABF,=,即2=42 5,解得BD=4 55.返回子目录 在有关圆的切线问题中,如果已知切点,连接过切点的半径(或直径),是一条经常用到的辅助线,由此可得垂直关系,为利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.判定切线常用的证明方法:(1)有切点,连半径,证垂直;(2)无切点,作垂直,证半径.三角形外接圆与内切圆（5年考2次）考向3返回子目录 1.(2021河北模拟)如图所示,在ABC中,BIC=125,点I是内心,点O是
18、外心,则BOC等于()CA.130B.135C.140D.145返回子目录 2.(2021河北模拟)如图,点E是ABC的内心,AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D,连接BD,BE,CE,若CBD=32,则BEC的大小为()CA.64B.120C.122D.128返回子目录 3.(2021河北预测)如图,O是等边ABC的内切圆,又是等边DEF的外接圆,则等于()A.B.C.D.A返回子目录 4.(2021邯郸模拟)已知点O是ABC的外心,连接AO并延长交BC于点D.若B=40,BAD=22,则C的度数为()DA.52B.58C.62D.68返回子目录 5.(2021河北模拟)如图,在RtABC
19、中,ACB=90,A=30,点I是RtABC的内心,连接CI并延长交AB于点D,若CD=2,则AC的长为()A.B.2 C.+1D.3C返回子目录 6.(2021河北预测)如图,以ABC的边AC为直径的O恰为ABC的外接圆,ABC的平分线交O于点D,过点D作DEAC交BC的延长线于点E.(1)求证:DE是O的切线;(2)若AB=2,BC=,求DE的长.返回子目录 解:(1)证明:如图,连接OD.AC是O的直径,ABC=90.BD平分ABC,ABD=45.AOD=90.DEAC,ODE=AOD=90,即ODDE.DE是O的切线.返回子目录(2)在RtABC中,AB=2,BC=,AC=+=5,OD=.如图,过点C 作CGDE,垂足为G,则四边形ODGC为正方形,DG=CG=OD=.DEAC,CEG=ACB.tanCEG=tanACB.=,即.=.GE=.DE=DG+GE=.返回子目录 三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点,外心到三角形的三个顶点的距离相等;三角形的内心是三角形内角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.外心到三角形各顶点的距离等于外接圆的半径,内心到三角形三边的距离等于内切圆的半径.
