1、第三章 空间向量与立体几何32 立体几何中的向量方法第2课时 空间向量与垂直关系目标 1.理解线面的位置关系与向量的联系.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系重点 用向量的方法解决线线、线面、面面的垂直关系难点 用线面垂直的判定定理与向量相结合解决垂直问题课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点 空间中直线、平面垂直关系的向量表示填一填1两直线垂直的关系：设直线 l 的方向向量为 a(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b(b1，b2，b3)，则 lm.2直线与平面的垂直关系：设直线 l 的方向向量是 a(a1，b1，c1)，平面 的法向量为 u(a2，b2，
2、c2)，则 l.abab0a1b1a2b2a3b30auaku3两个平面的垂直关系：若平面 的法向量为 u(a1，b1，c1)，平面 的法向量为 v(a2，b2，c2)，则 .uvuv0答一答1直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？2若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直提示：垂直空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直1线线垂直设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 l1l2，只需证明 ab，即 ab0.2线面垂直(1)设直线 l 的方向向量是 a，平面 的法向量是 u，则要证l，只需证明 au.(2)根据线面垂直的判定定理，转
3、化为直线与平面内的两条相交直线垂直即：设 a、b 在平面 内(或与平面 平行)，且 a 与 b 不共线，直线 l 的方向向量为 c，则 lca 且 cbacbc0.3面面垂直(1)根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直(2)证明两个平面的法向量互相垂直类型一 利用空间向量证明线线垂直【例 1】如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，PAAB1，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动求证：无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PEAF.【分析】只需证明直线 PE 与 AF 的方向向量互相垂直即可【证明】方法一：以 A 为原点，以 AD，AB，AP 所在
4、直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设ADa，则 A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)，于是 F0，12，12.E 为 BC 上，设 E(m,1,0)，PE(m,1，1)，AF0，12，12.PEAF0，PEAF.无论点 E 在边 BC 上何处，总有 PEAF.方法二：因为点 E 在边 BC 上，可设BEBC，于是PEAF(PAABBE)12(APAB)12(PAABBC)(ABAP)12(PAABPAAPABABABAPBC ABBC AP)12(011000)0，因此PEAF.故无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PEAF.
5、将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，可以选择基向量法也可用坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，若侧棱 C1C 的中点为 D，求证：AB1A1D.证明：设 AB 中点为 O，作 OO1AA1，以 O 为坐标原点，OB，OC，OO1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(12，0,1)，C1(0，32，1)，A(12，0,0)，B1(12，0,1)，D(0，32，12)，A1D(12，32，12)，AB1(1,0,1)，A1D AB1 120120，A1D AB1，即 AB1A1D.类型二 利用空
6、间向量证明线面垂直【例 2】如下图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、D1B1 的中点求证：EF平面 B1AC.【分析】利用线面垂直的判定定理，即只需证 EF 垂直于平面 B1AC 中的两条相交直线，也可以利用直线 EF 的方向向量与平面 B1AC 的法向量平行【证明】法一：设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，以DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)EF(1,1,2)(2,2,1)(1，1,1)，AB1(2,2,
7、2)(2,0,0)(0,2,2)，AC(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)EFAB1(1，1,1)(0,2,2)(1)0(1)2120.EFAC(1，1,1)(2,2,0)2200，EFAB1，EFAC，EFAB1，EFAC.又 AB1ACA，EF平面 B1AC.法二：同法一得AB1(0,2,2)，AC(2,2,0)，EF(1，1,1)设平面 B1AC 的法向量 n(x，y，z)，则AB1 n0，AC n0，即2y2z0，2x2y0，取 x1，则 y1，z1，n(1,1，1)，EFn，EFn，EF平面 B1AC.利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定理，即通过证明向量数量积
8、为 0 来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD，ABAD，AB4，AD2 2，CD2，AP平面 ABCD，PA4.求证：BD平面PAC.证明：因为 AP平面 ABCD，ABAD，所以以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图则 B(4,0,0)，P(0,0,4)，D(0,2 2，0)，C(2,2 2，0)，所以BD(4,2 2，0)，AC(2，2 2，0)，AP(0,0,4)所以BD AC(4)22 22 2000，B
9、D AP(4)02 20040，所以 BDAC，BDAP.因为 APACA，AC平面 PAC，AP平面 PAC，所以 BD平面 PAC.类型三 利用空间向量证明面面垂直【例 3】如图，在四棱锥 E-ABCD 中，AB平面 BCE，CD平面 BCE，ABBCCE2CD2，BCE120.求证：平面 ADE平面 ABE.【证明】取 BE 的中点 O，连接 OC，则 OCEB，又 AB平面 BCE，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.如图所示则由已知条件有 C(1,0,0)，B(0，3，0)，E(0，3，0)，D(1,0,1)，A(0，3，2)设平面 ADE 的法向量为 n(a，b，c)，则
10、nEA(a，b，c)(0,2 3，2)2 3b2c0，nDA(a，b，c)(1，3，1)a 3bc0.令 b1，则 a0，c 3，n(0,1，3)，又 AB平面 BCE，ABOC，OC平面 ABE，平面 ABE 的法向量可取为 m(1,0,0)nm(0,1，3)(1,0,0)0，nm，平面 ADE平面 ABE.利用空间向量证明面面垂直的方法1利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题.2直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1平面 ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E 为 BB1 的中
11、点，求证：平面 AEC1平面AA1C1C.证明：由题意知直线 AB，BC，B1B 两两垂直，以 B 为原点，分别以 BA，BC，BB1 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，12)，AA1(0,0,1)，AC(2,2,0)，AC1(2,2,1)，AE(2,0，12)设平面 AA1C1C 的法向量为 n1(x，y，z)，则n1AA1 0，n1AC 0，z0，2x2y0.令 x1，得 y1，n1(1,1,0)设平面 AEC1 的法向量为 n2(a，b，c)，则 n2AC1 0，n2AE0
12、，2a2bc0，2a12c0.令 c4，得 a1，b1，n2(1，1,4)n1n2111(1)040，n1n2，平面 AEC1平面 AA1C1C.类型四 素养提升空间垂直关系的探索性问题【例 4】如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E，F 分别是 AB，PB 的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB.【思路分析】证明线线垂直问题，可以利用线线垂直的判定定理，或者证明这两条直线的方向向量的数量积为零【精解详析】(1)以 DA，DC，DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图
13、所示)，设 ADa，则 D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Ea，a2，0，P(0,0，a)，Fa2，a2，a2，EFDC a2，0，a2(0，a,0)0，EFDC.(2)设 G(x,0，z)满足条件，则 G平面 PAD.FG xa2，a2，za2，由FG CB xa2，a2，za2(a,0,0)axa2 0，得 xa2，由FG CP xa2，a2，za2(0，a，a)a22 aza2 0，得 z0，G 点坐标为a2，0，0，即 G 点为 AD 的中点【解后反思】本题是一道开放型的综合题目，以四棱锥为载体，考查线线垂直、线面垂直关系对于此类问题，要掌握柱体与
14、锥体特有的性质、关系，在解题时要充分利用，从而找出隐含条件，使问题得到解决如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，M，N 分别是棱 AB，AD，A1B1，A1D1 的中点，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB1 上移动，且 DPBQ(02)(1)当 1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ；(2)是否存在，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由解：以 D 为原点，射线 DA，DC，DD1 分别为 x，y，z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.由已知得 B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2
15、,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)BC1(2,0,2)，FP(1,0，)，FE(1,1,0)(1)证明：当 1 时，FP(1，0,1)，因为BC1(2,0,2)，所以BC1 2FP，即 BC1FP.而 FP平面 EFPQ，且 BC1平面 EFPQ，故直线 BC1平面 EFPQ.(2)存在设平面 EFPQ 的一个法向量为 n(x，y，z)，则由FEn0，FPn0，可得xy0，xz0.于是可取 n(，1)同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m(2,2，1)若存在，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则 mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得 1 2
16、2.故存在 1 22，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角.1设直线 a 与 b 的一个方向向量分别为 a(1，12，3)，b(x,1，2)，若 ab，则 x 的值为()A2 B23C132D.132解析：abx(12)13(2)0，x132.D2设直线 l 的一个方向向量为 a(1，13，32)，平面 的法向量为 n(32，12，94)，则()AlBlCl 与 斜交D无法判定解析：n32a，na，l.B3已知AB(1,5，2)，BC(3,1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且BP平面 ABC，则BP等于()A.337，157，4 B.337，157，3C.407，1
17、57，4 D.407，157，3B解析：由ABBC 0 得 352z0，z4.又BP平面 ABC，BPAB0，BPBC 0，即x15y60，3x3y120，解得x407，y157.4已知点 A，B，C 的坐标分别为(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)，点 P 的坐标为(x,0，z)，若PAAB，PAAC，则PA.解析：由已知，得AB(1，1,1)，PA(x,1，z)，AC(2,0,1)，由PAAB x1z0，PAAC 2xz0，解得x13，z23.所以PA13，1，23.13，1，235如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点(1)指出直线
18、MN 的一个以 A 为起点的方向向量；(2)若PDA45，求证MN 为平面 PCD 的一个法向量解：(1)PA矩形 ABCD 所在平面以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系设 ABa，ADb，APc.则 B(a,0,0)，D(0，b,0)，C(a，b,0)，P(0,0，c)，Ma2，0，0，Na2，b2，c2.设以点 E 为终点，A 为起点的向量AEMN，即AE为直线 MN 的方向向量，AEMN 0，b2，c2，即点 E 坐标为0，b2，c2.PE0，b2，c2 12(0，b，c)12PD.E 为 PD 中点，以 A 为起点，PD 中点 E 为终点的向量AE为直线 MN 的一个方向向量(2)MN 0，b2，c2，PD(0，b，c)，DC(a,0,0)MN PD b22 c22 b2c22，MN DC 0.MNDC.PDA45，PAAD，ADAP，即 bc，b2c220，MNPD.PDDCD，MN平面 PCD，MN 为平面 PCD 的一个法向量温示提馨请 做：课时作业 25PPT文稿（点击进入）
