1、答案第 1页，共 6页泉州市 2022 年高考质优生考前强化训练资料推题二：函数与导数试题1已知函数()e(1)xh xaxb，,Ra b（1）求()h x 在(0,(0)h处的切线方程；（2）若()0h x 恒成立，求11eba 的最大值关键词：主元思想2已知函数ln()xf xkx的极大值为1ee（1）求实数 k 的值；（2）若函数()exag xx，对任意,()0 x，()()g xaf x恒成立求实数 a 的取值范围关键词：指对同构；图象变换；先猜后证3已知函数2()(1)e4xf xaxxxa（1）当4a 时，求()f x 的单调区间；（2）若不等式2()(2)f xx对任意,()0
2、 x 恒成立，求实数 a 的最大整数值关键词：隐零点；含参问题的解题策略策略4已知函数()ln1f xxax（1）求 f x 的零点个数；（2）若函数2()(1)()22lnxg xaf xaxx有两个不同的极值点1212),(x x xx证明：12()()8ln2 10g xg x关键词：双元不等式的解题策略5已知函数 2cossinfaxxxxx（1）讨论 f x 在区间0,上极值的个数；（2）当0 x 时，e2sinxf xxxx，求实数 a 的取值范围关键词：三角函数为背景的函数导数问题解题策略答案第 2页，共 6页参考答案：1（1）因为()e(1)xh xa，所以(0)ha ，又(0
3、)1hb 所以切线方程为1ybax ，即10axyb（2）()e(1)xh xa，（i）当10a 时，()0h x，所以此时()h x 在 R 上单调递增若10a ，则当0b 时满足条件，此时011eba；若10a ，取00 x 且011bxa，此时 0001e(1)1(1)01xbh xaxbaba，所以()0h x 不恒成立，此时不满足条件；（ii）当10a 时，由()0h x，得ln(1)xa；由()0h x，得ln(1)xa，所以()h x 在(,ln(1)a上单调递减，在(ln(1),)a 上单调递增要使得()e(1)0 xh xaxb恒成立，必须有当ln(1)xa时，min()(1
4、)(1)ln(1)0h xaaab成立，所以(1)(1)ln(1)baaa，所以(1)(1)ln(1)1111eebaaaaa令ln()1exxxG xx，0 x，则2lne()1exxG xx，因为ln()exH xx 在(0,)上单调递减，且10eH ，所以当10,ex时，()0H x；当1,ex时，()0H x 所以()G x 在10,e上单调递增，在 1,e上单调递减，所以当1ex 时，max()1G x，综上，当11ea ，2eb 时，11eba 取最大值 1答案第 3页，共 6页2（1）21lnxxfx，0 x，当0,ex时，0fx，f x 单调递增；当e,x 时，0fx，f x
5、单调递减；所以 f x 的极大值为 1ee1e1fk，故1k （2）根据题意，任意,()0 x，()()g xaf x，即 elnxaaxaxx，化简得0elnxxaxaxa令 lnexh xxaxaxa(0 x)，lneelnxxh xaxaxalnnelx xaxxa令 ln xxt，t R，设 etH tata，etHta，只需 0H t，t R 当0a 时，当0t 时，1H tata，所以111110Haaaa，不成立；当0a 时，0H t 显然成立；当0a 时，当,lnta，0Ht，H t 递减；当ln,ta，0Ht，H t 递增，所以 H t 的最小值为lnlnlnHaaaaaaa
6、 因为 0H t，所以lnln0Haaa，得 01a 综上，01a 答案第 4页，共 6页3（1）当4a 时，2()(3)e44xf xxxx，函数()f x 的定义域为(,)所以()(2)e24(2)(e)2xxfxxxx，令()0fx，即(2)(e)02xx，解得2x 或ln2x 当(,ln 2)(2,)x 时，()0fx，所以()f x 单调递减；当(ln 2,2)x时，()0fx，所以()f x 单调递増；所以()f x 的单调递减区间为(,ln 2)和(2,)，单调递增区间为(ln 2,2)（2）由题得22(1)e4(2)xaxxxax对任意,()0 x 恒成立，即min(1)e4e
7、1xxxa，,()0 x 即可设(1)e4()e1xxxg x，,()0 x，则2e(e6)()(e1)xxxxg x，令)()e6(,0,xh xxx，则()e10 xh x，所以()h x 在(0,)上为增函数，又2(2)e80h，3(3)e90h，所以存在唯一实数0(2,3)x，使得 00h x，即00e60 xx，即00e6xx，当0(0,)xx时，()0h x，所以()0g x，()g x 在0(0,)xx上为减函数；当0(,)xx 时，()0h x，所以()0g x，()g x 在0(,)xx 上为增函数，当0 xx时，()g x 取得极小值，也为最小值，所以00000min000
8、(1)e4(1)(6)4()2(6)1e1xxxxxg xg xxx，因为023x，所以0425x，即4a 因此实数 a 的最大整数值为 4答案第 5页，共 6页4（1）由题意可知,()0 x，令()0f x，则1lnaxx，所以1ln xax 令1ln()xG xx，则2ln()xG xx，当(0,1)x时，()0G x，所以函数()G x 在(0,1)上单调递增；当(1,)x 时，()0G x，所以函数()G x 在(1,)上单调递减所以max()(1)1G xG，当10ex时，0G x，且10eG，当1ex 时，()0G x，所以当1a 或0a，即1a 或0a 时，函数()f x 有且仅
9、有一个零点；当 01a ，即 10a 时，函数()f x 有两个零点；当1a ，即1a 时，函数()f x 没有零点综上所述，当0a 或1a 时，函数()f x 有且仅有一个零点；当 10a 时，函数()f x 有两个零点；当1a 时，函数()f x 没有零点（2）2()ln12xg xaxax，0 x 则2()axaxag xaxxx，则240aa，所以0a 或4a，且12xxa，12x xa因为0 x，所以4a 2212121212ln22xxg xg xax xa xx2121212122+2ln2xxx xax xa xx2222ln2ln222aaaaaaaaa令2()ln22ah
10、aaaa，4a，则()lnh aaa，令()lnF aaa，则1()aF aa，当4a 时，1()0aF aa，所以函数()F a 在(4,)上单调递减，所以()(4)ln 440F aF，所以函数()h a 在(4,)上单调递减，所以()(4)8ln 210h ah所以12()()8ln2 10g xg x答案第 6页，共 6页5（1）()2sin(2sin)fxaxxxxax，当12a 时，2sin0ax，则 0fx，所以 f x 在区间0，上单调递减，所以 f x 在区间0，上无极值；当102a时，存在12,0,x x且12xx，使得1sin2xa，2sin2xa 当10,xx时，()0
11、fx，当12,xx x时，()0fx，当2,xx 时，()0fx所以 f x 在区间10,x内单词递减，在区间12,x x内单调递增，在区间2,x 内单调递减，故 f x 在区间0,上有 1 个极大值，1 个极小值；当0a 时，2sin0fxxax，所以 f x 在区间0,上单调递增，故 f x 在区间0,上无极值综上，当12a 或0a 时 f x 在区间0,上无极值；当102a时，f x 在0,上有 2 个极值（2）当0 x 时，()e2sinxf xxxx等价于 ecos20 xxax在区间（0，）内恒成立令()ecos2,(0,)xg xxaxx，则()esinxg xxa，设()esi
12、n,(0,)xxxa x，则()ecosxxx，因为(0,),e1,1cos1xxx，所以()0 x，则()x在区间（0，）内单词递增min()(0)1xa 当1a 时，()0 x，即()0g x，所以()g x 在区间(0,)内单调递增，则min()(0)0g xg，所以 ecos20 xxax在区间(0,)内恒成立当1a 时，由上可知()esinxg xxa在区间(0,)内单调递增，又(0)10ga，所以存在0(0,)x ，使00gx当00,xx时，(.)0gx，所以()g x 在区间00,x内单调递减，所以()(0)0g xg，此时不满足 ecos20 xxax在区间(0,)内恒成立综上，实数 a 的取值范围为(,1)
