1、2016-2017学年重庆市第八中学高三上学期适应性月考（三）文数一、选择题：共12题1已知集合,则A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查集合的交集和不等式的解法.由已知得,集合,所以.【备注】分式不等式的一般解法是:第一步移项,第二部通分,第三步是转化为整式不等式(注意分母不为)2复数的实部与虚部相等,且在复平面上对应的点在第三象限,则A.1B.2C.1或2D.【答案】A【解析】考查复数的基本概念,属于基础题.由题意,解得它在复平面上对应的点在第一象限,不符合题意,舍去,所以,故选A.【备注】在计算过程中产生增根,要注意取舍.3函数的部分图象如图所示,则A.B.C.D.【答案】C【解析】
2、考查已知三角函数图象求三角函数的解析式问题.由图象可得又因为所以函数的解析式可以写成因为,即.因为,所以,从而得出函数的解析式是.【备注】求三角函数的解析式的一般顺序是先求A,即振幅,再求,最后求,注意题目中的取值范围.4直三棱柱中,则该三棱柱的外接球的表面积为A.B.C.D.【答案】C【解析】考查几何体外接球的表面积.由题意得,所给的直三棱柱各个边长均相等,接上下底面为等腰直角三角形,若将该几何体补上它的本身,可以得出边长为2的正方体,如下图所示.因为正方体的外接球的球心在正方体体对角线的中点,所以外接球的半径是所以外接球的表面积是.【备注】割补法是求几何体表面积或者体积一中非常好的方法.5
3、已知直线被圆所截得弦长为2,则实数的值为A.B.C.D.【答案】C【解析】考查直线与圆的位置关系中的相交关系,点到直线的距离公式的应用,勾股定理等知识,属基础题.首先将直线方程化成标准形式为:,圆心为.圆心到直线的距离为,因为直线被圆所截得弦长为2,一半弦长为1.如图所示:由勾股定理得:,解得.【备注】求解直线与圆的位置关系问题时,一般的方法是利用圆心到直线的距离,弦长的一半和半径构成的直角三角形,利用勾股定理求解相关量.求解时,可画一个草图,帮助求解,不用在直角坐标系中精确作图.6已知直线与两坐标轴围成的区域为,不等式组所形成的区域为,现在区域中随机放置一点,则该点落在区域的概率是A.B.C
4、.D.【答案】B【解析】本题考查线性规划和几何概型,属基础题.由题意得,在平面直角坐标系中,分别做出区域和,如图所示,面积为,面积为,所以该点落在区域的概率是.【备注】线性规划问题的关键是准确做出可行域,注意边界是实线还是虚线.7某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查三视图和几何体的体积.由题目所给的三个三视图可知,该几何体是由一个圆柱和半个圆锥构成,如图所示圆柱的体积是,半个圆锥的体积是,所以该几何体的体积为【备注】要熟悉常见几何体的三视图,熟记常见几何体的体积公式.8已知直线过点,且倾斜角为,当此直线与抛物线交于时,A.B.16C.8D.【答
5、案】A【解析】本题考查的是直线与抛物线的位置关系,借助弦长公式求焦点弦.由题意得:直线的方程为,与抛物线线方程联立得:,由弦长公式,计算的.【备注】过抛物线(p0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A、B两点结论1:结论2:若直线L的倾斜角为,则弦长证:(1)若时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,结论得证(2)若时,设直线L的方程为:即代入抛物线方程得由韦达定理由弦长公式得9阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】本题考查程序款图,注意循环结构退出的条件,属基础题.当时,;当时,;当时,当时,故输出,故选.【备
6、注】程序框图问题要按照运算流程,写出每次运行的结果,多运行两遍,或者验证,减少失误.10已知函数且,则A.B.C.D.【答案】D【解析】考查分段函数和对数函数性质问题,属基础题.由题意得:当时,若,即,解得(舍去)或;当,即,解得.所以.则.【备注】分段函数问题要分段求解,注意自变量的取值范围.11设当时,函数取得最小值,则A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查三角恒等变换,属基础题.由题意得:.当,函数取得最小值,则即. 所以.【备注】此类题目需要注意的意义.12设函数,则使得成立的的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】考查函数的性质和不等式解法,注意函数的等价变形,有一定的难度
7、.由题意得:函数为偶函数,所以.当时,为减函数,所以得等价于,即,解得.【备注】在选择题中函数问题主要考查函数的图象和性质,注意挖掘题目的隐含条件,用好树形结合和等价转化的数学思想.二、填空题：共4题13已知向量,且,则实数.【答案】【解析】考查向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示.由题意得:,若,则,解得.【备注】若.14若双曲线的一条渐近线过点,则.【答案】4【解析】考查双曲线的渐近线的定义,属基础题.由题意得:双曲线的渐近线为,因为渐近线过点,解得【备注】注意双曲线渐近线的形式,若双曲线方程为双曲线,则渐近线方程为15的内角的对边分别为,若,则的面积为.【答案】【解析】考查解三角形的知识,
8、考查正弦定理和三角形的面积公式.由题意得:角A为钝角有正弦定理得.由.得,在中,的面积为【备注】解三角形问题注意正弦定理和余弦定理的运用,特别需要注意的是边角的互化.16重庆好食寨鱼火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料,由乙车间加工麻辣鱼火锅底料.甲车间加工1吨原材料需耗费工时10小时,可加工出14箱水煮鱼火锅底料,每箱可获利80元;乙车间加工1吨原材料需耗费工时6小时,可加工出8箱麻辣鱼火锅底料,每箱可获利100元.甲、乙两车间每天总获利最大值为元.【答案】60 800【解析】本题考查线性规划问题.设甲车间加工原材料吨,乙车间加工原材料吨,甲、乙两车间每天获利为元,则,目
9、标函数,作出可行域,如图所示.当对应的直线过直线与的交点A时,目标函数取得最大值.由,得,故,即甲、乙两车间每天总获利最大值为60 800元.【备注】线性规划问题相当于一个应用题,需要认真读题,准确写出目标函数和限制条件,做出可行域,找到最值.三、解答题：共7题17已知是递增的等差数列,是函数的两个零点.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.【答案】(1)函数的两个零点为3,7,由题意得.设数列的公差为,则故所以的通项公式为(2)由(1)知则,两式相减得=,所以.【解析】考查数列的通项公式和错位相减法求数列的前项和,属中低档题.(1)由题意,是函数的两个零点,且是递增的等差数列,解
10、得.从而求出数列的通项公式;(2)由第一问的结论,得出所以数列的前项和的求法使用错位相减法.【备注】数列求和的常用方法有公式法,错位相减法,裂项相消法,倒序相加法,分组求和法等.求和方法的选用要看通项公式的特点.18发改委10月19日印发了通知,其中“十三五”校园足球普及行动排名第三,为了调查重庆八中高一高二两个年级对改政策的落实情况,在每个年级随机选取20名足球爱好者,记录改政策发布后他们周平均增加的足球运动时间(单位:),所得数据如下:高一年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间:1.63.43.73.33.83.22.84.22.54.53.52.53.33.74.03.94.13.
11、62.22.2高二年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间:4.22.82.93.13.63.42.21.82.32.72.62.41.53.52.11.92.23.71.51.6(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个年级政策落实得更好?(2)根据两组数据完成上图的茎叶图,从茎叶图简单分析哪个年级政策落实得更好?【答案】(1)设高一年级所得数据的平均数为,高二年级所得数据的平均数为.由记录数据可得=3.73.23.53.73.6=,=3.12.31.52.2=,由以上计算结果可得,因此可看出高一年级政策落实得更好.(2)由记录结果可绘制如图所示的茎叶图:从以上茎叶图可以看出,高
12、一年级的数据有的叶集中在茎3,4上,而高二年级的数据有的叶集中在茎1,2上,由此可看出高一年级政策落实得更好.【解析】考查数字的基本特征和茎叶图的基础知识,属基础题.(1)由题意得 ,利用公式,分别求出高一年级和高二年级的平均数,比较得出得,因此可看出高一年级政策落实得更好;(2)第二问考查茎叶图的画法,并通过茎叶图的数据分布情况,分析两个年级的落实情况,通过分析可以看出高一年级的大部分数据集中在茎3,4上;而高二年级的数据集中在茎1,2上.【备注】认真计算,规范作图是解决这种题目的关键.19如图所示,四边形是边长为2的正方形,四边形是平行四边形,点分别是的中点.(1)求证:平面;(2)若是等
13、边三角形且平面平面,记三棱锥的体积为,四棱锥的体积为,求的值.【答案】(1)证明:如图4,取的中点,连接,点分别是的中点,.是平行四边形,且点是的中点,又=,所以平面平面,又平面,平面.(2)平面平面,平面,=,又平面平面,平面,=,.【解析】本题考查立体几何的证明和锥体体积的比值,属中档题.(1)要证平面,这是证明线面平行,一般有两种方法,一是证明线线平行,二是证明面面平行,通过分析图形可以看出,直线所在的平面,平行于平面,从而得出结论;(2)利用等积法分析三棱锥的体积和四棱锥的体积之间的关系,因为, 且平面平面,所以点F到平面的距离等于点D平面的距离,所以=,而四棱锥底面的面积是三角形AB
14、D面积的二倍,且两个锥体同高,所以【备注】解决立体几何证明问题,要注意平行、垂直的判定定理和性质定理的使用,注意定理成立的条件缺一不可;等积法是求解几何体体积一中非常好的方法,本题的等价转化的思想非常好,值得反思.20已知椭圆的长轴是圆的一条直径,且右焦点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在直线与椭圆交于两点,使得成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)由已知,解得,所以,椭圆的标准方程为.(2)假设存在这样的直线.由得,=设,则=,=,由得,即,故,代入式得或.【解析】本题考查椭圆的标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系,属于难题.第一问可以利用
15、椭圆焦点到直线的距离公式,以及椭圆的长轴长轴是圆的一条直径,求解出,从而得出椭圆方程;第二问要注意将题目的向量表达式合理运算,即将=两边平方在化简可以得出,在利用韦达定理,得出直线方程中的关系,因为要求的取值范围,所以需要保证直线与椭圆有两个交点,即将直线与椭圆联立之后的一元二次不等式方程的,从而求出的取值范围.【备注】圆锥曲线题目一般有两问,第一问是求曲线方程,第二问是直线与圆锥曲线的位置关系,需要学生用好设而不求的方法,分析出量与量之间的关系,再使用韦达定理求解.需要注意的是计算能力的培养.21设函数.(1)当时,求在处的切线方程;(2)若对任意恒成立,求整数的最大值.【答案】(1)当时,
16、则,所以在处的切线方程为,即.(2)对任意恒成立对任意恒成立,令,则.令,则,在上单调递增,又,存在使得,其中在上单调递减,在上单调递增,又,即,的最大值为2.【解析】本题考查切线方程,函数的恒成立问题,考查学生的等价转化能力和运算求解能力,属于难题.第一问,先利用导数的运算法则,求出函数,当时的导数,即,从而得出在处的切线方程;第二问将不等式变形,利用分离参数的方法,得出对任意恒成立,即需要求函数的最小值.对函数求导得:.再构造函数,对函数求导发现是增函数,且,从而得出存在使得,即在上单调递减,在上单调递增,且,在通过运算求出的值.【备注】导数题目注重考查学生的分析能力和等价转化的数学思想.
17、平时学习时,要注意积累方法,比如恒成立问题的解题思路一般是转化为最值问题,含有参数函数最值问题的问题一般用分类讨论或者分离参数.22已知圆和圆的极坐标方程分别为和,点为圆上任意一点.(1)若射线交圆于点,且其方程为,求的长;(2)已知,若圆和圆的交点为,求证:为定值.【答案】(1)把代入得到点的极径,而点的极径为,所以.(2)证明:联立和解得,其直角坐标为,圆的直角坐标方程为.则=.【解析】本题考查圆的极坐标方程,定值问题. (1)利用,根据条件分别求出,即可. (2)利用圆和圆的极坐标方程解出,转换成直角坐标系上的点,直接计算出.即证命题成立.23若且.(1)求的最小值;(2)是否存在使得?并说明理由.【答案】(1)由条件知.所以,.当且仅当,即时取等,所以的最小值为6.(2)因为,当且仅当时取等,所以,故不存在使得.【解析】本题考查均值不等式,注意均值不等式的灵活变形和等号成立的条件,属于中档题.第一问由题意可得,所以=,从而得出答案;第二问要用到第一问的结论,和均值不等式的变式:,即,从而得证.【备注】均值不等式的应用非常灵活,要掌握它常见的几种变形,同时要注意使用均值不等式时注意的三点:一正二定三相等.
