1、2.3 向量的坐标表示2.3.1 平面向量基本定理5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.如图2-3-1所示,、不共线，=t(tR)，用、表示.图2-3-1解: 、不共线，则、可作基底，据定理有且只有一组实数1、2，使=1+2.2.向量、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p，=q,=r，则下列等式成立的是( )A.r=-p+q B.r=-p+2qC.r=p-q D.r=-q+2p思路解析:由=-3,得-=-3(-)，即2=-+3，=-+，即r=-p+q.答案:A10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.设一直线上三点A、B、P满足=(1)，O是空间一点，则用、表示为( )A.=+ B
2、.=+(1-)C.= D.=+思路解析:由=(1),得-=(-),即=.答案:C2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则等于( )A.(+),(0,1)B.(+),(0,)C.(-),(0,1)D.(-),(0,)思路解析:点P在对角线AC上，与共线.又=+,=(+).当P与A重合时，=0；当P与C重合时，=1.答案:A3.如图2-3-2所示，四边形ABCD为矩形，且AD=2AB,又ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，=e1，=e2，以e1、e2为基底，表示向量、及.图2-3-2思路解析:可根据平面几何中有关知识，进行等量代换，并转化为向量的相关知识解决.解
3、:=e1，=e2，=e2-e1.依题意有AD=2AB=DE，且F为ED中点，四边形ABDF为平行四边形.=e2-e1，=e2.=+=e2-e1+e2=2e2-e1.4.如图2-3-3所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.图2-3-3思路解析:本题可将c、d看作基底，即用基底表示和.解:设=a，=b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得=b，=a.从ABN和ADM中可得即=(2d-c)，=(2c-d).志鸿教育乐园感想 甲：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？ 乙：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高. 甲：何以见得呢？ 乙：人家大人
4、小孩都会说英语.30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.(2005 全国卷)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10)，且A、B、C三点共线，则k=_.思路解析:三点共线，则任意两点连线的斜率相等.因为=(k,12)，=(4,5),=(-k,10),所以A(k,12)、B(4,5)、C(-k,10).KAB=KBC,所以，解得k=-.答案:- 2.(2005 山东)已知向量a、b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b,则一定共线的三点是( )A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D思路解析:本题考查向量的概念及其运算.=+=2a+4b=2，A、B、D三
5、点共线.答案:A3.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于( )A.(+),(0,1)B.(+),(0,)C.(-),(0,1)D.(-),(0,)思路解析:如图，由向量的运算法则=+及点P在对角线AC上,所以与同向,且|,故=(+),(0,1).答案:A4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足=+，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为( )A.3x-2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0 D.x+2y-5=0思路解析:由=+，+=1,知A、B、C三点共线.C点的轨迹是直线AB，由两点式
6、得，即x+2y-5=0.答案:D5.如图2-3-4所示，在ABC中，M是边AB的中点，E是CM的中点，AE的延长线交BC于F，MHAF.求证:=.图2-3-4证明:M为AB中点，MHAF，则=x.设=a，=b.=+x，=a+2x.又E为CM的中点，=.=b-，=.又=-=(a+2x)-(+).由+=，(a+2x)-(+)+()=b，+x+=b，3x=b-a，x=(b-a).=(b-a)，而=(b-a)-(b-a)=(b-a).=.6.如图2-3-5所示，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ、PS的中点，QL=QR,SM=SR，设KM与L
7、N交于A点，=a，=q，=s，试用q、s表示a.图2-3-5思路解析:本题是求以q、s为一组基底的a的线性分解式.由于=+，而=，关键是.又由于与共线，而可用q、s表示，这样可以求得一个关于q、s的分解式(含参数).同样，利用、还可求得另一个关于q、s的分解式(也含参数).由于关于q、s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程，解出参数值，问题便可解决.解法一:与共线，存在实数1，使=1.=,K为的中点，=,=-,=，=+(-)=-+，即=-q+s.=-q+1s.=+,K为的中点，=q-q+1s，即=(-)q+1s.同样设=2，=+-=-=q-s，=+=+2=s+2q-s=(-)s+2q.关
8、于q、s的分解式是唯一的，=q+s.解法二:由于N、A、L三点共线，故存在R，使=+(1-).=s，=+=+=q+s.=s+(1-)(q+s)=s+(1-)q+s.=(1-)q+(+)s.同理，由于K、A、M三点共线，故存在R，使=+(1-).=q，=+=s+q.=s+(1-)(s+q).=(1-)s+(+)q.关于q、s的分解式是唯一的，=q+s.7.如图2-3-6所示,平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点.求证: +=4.图2-3-6证明:E是对角线AC和BD的交点，=-，=-.在OAE中，+=，同理, +=，+=，+=.以上各式相加，得+=4.8.证明三角形的三条中线交于一点.思路解析:本题可用平面几何知识加以证明，也可以用平面解析几何知识证明，现在我们用平面向量的方法加以证明.证明:如图，令=a，=b为基底.=b-a，=a+b，=b-a，设AD与BE交于点G1，并设1=，=，则有=-=a+b-b=a+b，=1-=a-b-a+b=(1-)a+b，解得=.1=.设与交于点G2，同理可得2=.G1与G2重合，也就是说AD、BE、CF相交于同一点.三角形的三条中线交于一点.
