1、小细节，大世界之正弦定理及其证明高一（3）金钧伟、沈伟、周志豪、娄辛灿指导老师：南建朋一、探究背景：细节决定成败，只有注重每一个细节，才有可能抓住每一次成功的机会。古希腊数学家毕达哥拉斯从小酷爱数学，尤其对“数”情有独钟。有一次，毕达哥拉斯应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅地板上铺着美丽的正方形大理石地砖，由于大餐迟未做好，这些饥肠辘辘的宾客颇有怨言，而这位习惯细心考察的数学家却对这些排列规则美丽的方形瓷砖产生了兴趣，他不只是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系。于是，毕达哥拉斯拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线为边画了一个正方形，他发现这个正方形的面
2、积恰好等于两块瓷砖的面积和。他很好奇，于是以12矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形的面积恰恰等于5块瓷砖的面积和那一顿饭，这位古希腊数学大师的视线一直没有离开过地面。回去，毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形其斜边的平方恰好等于另两边的平方和，并对次结果做了一般性的证明，这一结果就是我们今天知道的“勾股定理”。正是由于毕达哥拉斯善于观察注重生活中的细节，才抓住一个成功的机会，成为是世界上最著名的数学家之一。在继承毕达哥拉斯发现的勾股定理基础上，我们来研究一下关于三角形中边与角关系的一般规律：正弦定理.二、思考探究 任意画一个三角形，通过计算得到三角形的边角关系的一个量化： 那么在
3、任意三角形中，这个关系都成立吗？三、探究过程 可按直角三角形，锐角三角形，钝角三角形来分别讨论。在ABC中角A，B，C的对边分别是a,b,c。 (1) 当ABC为直角三角形时，如图，（1），C=作CD垂直AB于D点则bsanA=asinB=CD = 又csinA=a=asinC =（2）当ABC为锐角三角形时，如图（2）作CD垂直AB于D点时，则bsanA=asinB=CD = 同理可得 =（3）当ABC为钝角三角形时 如图（3） 设角ABC为为钝角，过C作AB的垂线，与AB的延长线交于D点 由三角函数的定义，得CD=bsinA CD=asin（-B）=asinB bsinA=asinB 即=
4、 同理可得= =CCBbaDB1A 图2 CCbbaDaBAcAB 图1 图3四、关键细节锐角三角形函数应用 bsanA=asinB=CD 把斜三角形转化为直角三角形，利用锐角三角函数证明五、探究结论 在任意三角形中 = 都成立，这就是正弦定理六、探究新法 （1）面积法：对任意ABC，其面积为S=absinC=bcsinA=acsinB asinC=csinC bsinC=csinB = =（2）向量法：证明：如图（4） 当ABC为锐角三角形时，过A作单位向量垂直于则与的夹角为，与的夹角为B，与的夹角为A设 =c =a =b Cos+ cos（-B）+ cos（+A）=0bsinA=asinB
5、 即= =图4图5当ABC为钝角三角形 如图（5） 或为直角三角形时 利用同样的方法可以证得结论七引申探究 如图（6） DA为ABC的外接圆的直径，设DA=2R 那么R与正弦定理之间有什么关系呢？连接DB 显然A=C在DBC内 由正弦定理得a=BC=DCsinD=2RsinA=2R 同理可得=2R图6所以我们可以得出这样的结论：设R是ABC的外接圆半径，则有=2R 由此可以推理得到a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC sinA= sinB= sinC= 八探究变式 由正弦定理，还可以推导出以下两种变式（1）a：b：c=sinA：sinB：sinC（2） 九探究体会 没有想到一个小小的三角形中还有这么多的细节问题，这么多知识。虽然我们并不一定要作数学家，但是我们同样要关注我们学习中的细节问题，积小成大，聚沙成塔，形成关注细节的学习习惯，为我们以后的成功打下基础。“天下难事必做于易；天下大事必做于细”-老子独到的见解也为我们指明了要成就一番事业，必须从简单的事情做起，从细微之处入手。生活，学习中的一切原本就是由细节构成的，如果一切归于有序，那么决定成败的必将是事情的细节。让我们关注细节吧！
