1、第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念教学建议1.教材分析第一小节主要内容是平均变化率,是在气球膨胀率问题和高台跳水问题的基础上,归纳它们的共同特征,定义了一般的平均变化率,第二小节主要是利用极限的思想给出了导数的定义.重点是使学生知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵.难点是体会由平均变化率研究瞬时变化率的过程中采用的逼近方法,从而理解导数的概念.2.主要问题及教学建议(1)气球膨胀率问题和高台跳水问题.建议教师借助这两个生活中的例子引导学生体会平均膨胀率和平均速度,为学习平均变化率做好铺垫.(2)平均速度与瞬时速度的关系.建议教师通过物体的运动
2、说明平均速度是物体在一段时间内的速度,刻画了物体在该段时间运动的快慢,而瞬时速度是物体在某一瞬间的速度,刻画了物体在该时刻运动的快慢.(3)瞬时变化率与导数.建议教师多选配一些变化率问题,利用丰富的实例让学生辨别它们的共同特征,认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率,逐步建立起导数的概念.备选习题1.分别求函数f(x)=1-3x在自变量x从0变到1和从m变到n(mn)时的平均变化率.解:自变量x从0变到1时,函数f(x)的平均变化率为=-3,自变量x从m变到n时,函数f(x)的平均变化率为=-3.2.若函数f(x)=-x2+x在2,2+x上的平均变化率不大于-1,求x的取值范围.解:因为函数f
3、(x)在2,2+x上的平均变化率为:=-3-x,所以由-3-x-1,得x-2.又因为x0,所以x的取值范围是(0,+).3.路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点C处沿某直线离开路灯.(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式;(2)求人离开路灯后,在0 s到10 s内身影的平均变化率.解:(1)如图所示,人从点C运动到B处的距离为x m,AB为身影的长度,AB的长度为y m,由于CDBE,则,即,所以y=x.(2)84 m/min=1.4 m/s,当从0 s到10 s时,身影长度增加了1.410-1.40=(m),身影的平均变化率为(m/s),即人离开路灯后,在0 s到10 s内身影的平均变化率为 m/s.
