1、1.3.2球的体积和表面积A组1.若一个球的体积扩大到原来的27倍,则它的表面积扩大到原来的()A.3倍B.3倍C.9倍D.9倍答案:C2.一个正方体内接于表面积为4的球,则正方体的表面积等于()A.4B.8C.8D.8解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4R2=4,解得R=1.因为正方体内接于球,所以x=2R=2,所以x=,故S正=6x2=6=8.答案:B3.一个各棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则该球的表面积为()A.3B.4C.3D.6解析:以四面体的棱为正方体的面对角线构造正方体,则四面体的外接球就是正方体的外接球,且正方体的棱长为1,设球半径为R,所以2R=,所以S球
2、=4R2=3.答案:A4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A.9B.10C.11D.12解析:该几何体的上部是一个球,其表面积是412=4;下部是一个圆柱,其表面积是213+212=8,则该几何体的表面积是4+8=12.答案:D5.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为,则球的体积为()A.B.C.8D.解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为R3=.答案:D6.用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积是原来整球表面积的倍.解析:设球半径为R,则球表面积为S1=4R2,两个半球的表面
3、积为S2=2(2R2+R2)=6R2,S2S1=64=32.答案:7.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径是.解析:设钢球半径为r cm,则r3=324,即r=3.答案:3 cm8.球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为.解析:如图,设球半径为r,则球心到该圆锥底面的距离是,于是圆锥的底面半径为.因为圆锥的高为,所以圆锥的体积为r3,球的体积为r3,所以该圆锥的体积和此球体积的比值为.答案:9.某组合体的直观图如图,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和
4、体积.解:该组合体的表面积S=4r2+2rl=412+213=10,该组合体的体积V=r3+r2l=13+123=.10.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,BAC=120,求此球的表面积.解:设球心为O,球半径为R,ABC外接圆的圆心为M,则O在底面ABC上的射影就是点M.如图,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,MAC=60.又MA=MC,MA=MC=AC=2.R2=22+=5.此球的表面积为S=4R2=20.B组1.一个体积为1 cm3的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是()A. cm2B.3 cm2C.9 cm2D
5、.12 cm2解析:体积为1 cm3的正方体的棱长为1 cm,所以球的半径为 cm,表面积为3 cm2.答案:B2.有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为()A.a3B.a3C.a3D.a3解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=a,故V=a3.答案:C3.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,
6、即OBA为直角三角形,如图.BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,由R2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为53=(cm3),故选A.答案:A4.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是.解析:设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为r26r=6r3,高度为8的水的体积为8r2,3个球的体积和为3r3=4r3,由题意得6r3-8r2=4r3,解得r=4.答案:45.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的体积为.解析:由题意得,该正四棱柱的底面边长为
7、2,外接球的直径就是该正四棱柱的对角线,所以外接球的半径为,所以该球的体积为)3=8.答案:86.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.解析:作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=7=.答案:7.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=r2h,
8、由题意,圆锥的底面半径为r,高为h,V圆锥=r2h.球的半径为r,V球=r3.又h=2r,V圆锥V球V圆柱=(r2h)=(2r3)=123.8.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.解:取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SCEC.AB=3,O1C=3.在RtSO1C中,SC=2,SO1=.在RtSCE中,RtSCERtSO1C,SC2=SO1SE,SE=4.球半径R=2.球的表面积为S=4R2=4(2)2=48.9.某几何体的三视图如图所示(单位:m).(1)求该几何体的表面积S(结果保留);(2)求该几何体的体积V(结果保留).解:由三视图可知,该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体,上半部分是半径为1 m的半球.(1)几何体的表面积S=412+622-12=24+(m2).(2)几何体的体积V=23+13=8+(m3).
