1、重庆一中2015届高三上学期第一次月考 数 学 试 题 卷（理科） 2014. 9【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.一. 选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1. 已知复数满足, 则=( )A. B. C. D. 【知识点】复数代数形式
2、的乘除运算L4 【答案解析】A 解析：由，得故选：A【思路点拨】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值【题文】2. 设, , , 则（ ）A. B. C. D. 【知识点】对数值大小的比较B7 【答案解析】A 解析：a=30.51，0b=log321，c=log0.530，三个数字的大小根据三个数字的范围得到cba，故选A【思路点拨】根据指数函数和对数函数的性质，得到三个数字与0，1之间的大小关系，利用两个中间数字得到结果【题文】3. 函数() 的值域是（ ）A. B. C. D. 【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域菁优B6 【答案解析】C 解析：函数v=，当0x
3、3时，3（x1）2+11，e3e1，即e3ve；函数v的值域是（e3，e故选：C【思路点拨】先求出时x2+2x的取值范围，再根据指数函数的单调性求出值域.【题文】4. 把的图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，再向右移动一个单位，得到的函数解析式是（ ）A. B. C. D. 【知识点】函数的图象与图象变化B9 【答案解析】C 解析：把y=ln（x+1）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，得到函数y=ln（），再向右移动一个单位，得到y=ln（）=ln，故选：C【思路点拨】根据函数图象之间的变化关系即可得到结论【题文】5. 函数的零点个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 0 D.
4、3【知识点】函数零点的判定定理菁B9 【答案解析】A 解析：函数f（x）的定义域为（0，+），且函数f（x）单调递增，f（1）=2ln1+25=30，f（3）=2ln3+10，在（1，3）内函数存在唯一的一个零点，故函数f（x）=2lnx+2x5的零点个数为1个，故选：A【思路点拨】根据函数f（x）的单调性以及函数零点的判断条件即可得到结论【题文】6若定义在实数集上的偶函数满足, , 对任意恒成立, 则（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【知识点】函数奇偶性的性质B4 【答案解析】D 解析：f（x）0，f（x+2）=，f（x+4）=f（x），函数f（x）的周期是4f（2015）=f（5
5、0441）=f（1），函数f（x）为偶函数，f（1）=f（1），当x=1时，f（1+2）=f（1）=，f2（1）=1，即f（1）=1，f（2015）=f（1）=1故选：D【思路点拨】由f（x）0，f（x+2）=，对可得函数的周期是4，然后利用函数的奇偶性和周期性即可求值【题文】7. 若某程序框图如右图所示, 当输入50时, 则该程序运算后输出的结果是( )A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【知识点】程序框图L1 【答案解析】B 解析：由程序框图知，n=50，S=0，i=1S=1，i=2，Sn，继续执行循环；S=4，i=3，Sn，继续执行循环；S=11，i=4，Sn，继续执行循环；S=26，
6、i=5，Sn，继续执行循环；S=57，i=6，此时Sn，退出循环，输出i的值为6；故答案为：B【思路点拨】因为n=50，由程序框图写出每次循环S，i的值，判断当Sn时，退出循环，即可求得输出i的值【题文】8. 如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体. 开始输液时, 滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计), 设输液开始后分钟, 瓶内液面与进气管的距离为厘米, 已知当时, . 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完. 则函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【知识点】函数模型的选择与应用B10 【答案解析】A 解析：由题意知，每分钟滴下cm3药液，当4h13时，x=42（13h），即h=
7、13，此时0x144；当1h4时，x=429+22（4h），即，此时144x156函数单调递减，且144x156时，递减速度变快故选：A【思路点拨】每分钟滴下cm3药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系【题文】9. 函数, 若关于的方程有五个不同的实数解, 则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【知识点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用B9 B10 【答案解析】A 解
8、析：由方程2f2（x）（2a+5）f（x）+5a=0解得，f（x）=或f（x）=a，则x=1时，方程2f2（x）（2a+5）f（x）+5a=0的一个解，则2|x1|=1与2|x1|=a1还要在（，1）（1，+）上有四个不同的解，则a1=2|x1|1且a11，即a2且a故选A【思路点拨】先化简方程，从而简化问题，转化为2|x1|=1与2|x1|=a1在（，1）（1，+）上有四个不同的解【题文】10. 若定义域在的函数满足： 对于任意，当时，都有; ; ; , 则（ ）A. B C D 【知识点】函数的值B1 【答案解析】B 解析：f（1x）+f（x）=1，令x=0；f（1）+f（0）=1，又f（
9、0）=0；f（1）=1；令x=可得，2f（）=1，f（）=；在f（x）中令x=1，则f（）=f（1）=，又对于任意x1，x20，1，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）；在，上，f（x）f（）=f（）=f（）=（）3f（）=（）4f（），=故=；故选B【思路点拨】由题意给出的四个性质可推出在，上，f（x）；从而求出的值二. 填空题: 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。【题文】11. 设全集U是实数集, , , 则_. 【知识点】交、并、补集的混合运算A1【答案解析】x|1x2 解析：由M中不等式解得：x2或x2，即M=x|x2或x2，RM=x|
10、2x2，由N中不等式变形得：0，即0，解得：1x3，即N=x|1x3，则（RM）N=x|1x2故答案为：x|1x2【思路点拨】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M补集与N的交集即可【题文】12. 已知函数, 则的值为_.【知识点】函数的值B1 【答案解析】 解析：函数f（x）=，f（2）=f（3）=f（4）=故答案为：【思路点拨】利用分段函数的性质求解【题文】13. 若函数(为常数)在区间上是减函数, 则的取值范围是_.【知识点】函数单调性的性质B3 【答案解析】 解析：设，则函数 在定义域上单调递减，要使f（x）在区间（2，4）上是减函数，则设在（2，4）上为增
11、函数因为=a+，所以要使函数t=a+，在（2，4）上为增函数，则a20，即a2，要使函数有意义，则t0，则t=a+0在（2，4）成立，所以只要当x=2时，=2a20，即可，解得a1，综上1a2，故a的取值范围是1，2）故答案为：1，2）【思路点拨】利用复合函数的单调性的性质进行求解考生注意：14, 15, 16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.【题文】14. 如图, 为外一点, 过点作的两条切线, 切点分别为, , 过的中点作割线交于, 两点, 若, , 则 _【知识点】与圆有关的比例线段N1 【答案解析】4 解析：QA是O的切线，QA2=QCQD，QC=1，CD=
12、3，QA2=4，QA=2，PA=4，PA，PB是O的切线，PB=PA=4故答案为：4【思路点拨】利用切割线定理可得QA2=QCQD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB【题文】15. 在直角坐标平面内, 以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知点的极坐标为, 曲线的参数方程为(为参数), 则点到曲线上的点的距离的最小值为 【知识点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程菁N3 【答案解析】 解析：由曲线C的参数方程（为参数），化成普通方程为：（x1）2+y2=2，圆心为A（1，0），半径为r=，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|故答案为：5
13、【思路点拨】利用x=cos，y=sin即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|r即可求出最小值【题文】16. 若关于的不等式在实数集上的解集为, 则的取值范围为_.【知识点】绝对值不等式的解法菁优N4 【答案解析】 解析：根据绝对值的意义可得|x1|+|x+2a|的最小值为|1+2a|，结合所给的条件可得|1+2a|1 由此求得实数a的取值范围为（，1）（0，+）；故答案为：（，1）（0，+）【思路点拨】根据绝对值的意义可得|x1|+|x+2a|的最小值为|1+2a|，结合所给的条件可得|12a|1，由此求得实数a的取值范围
14、三. 解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.【题文】17. (本小题满分13分) 已知 实数满足, 其中; 实数满足.(1) 若 且为真, 求实数的取值范围;(2) 若是的必要不充分条件, 求实数的取值范围. 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假A2 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）对：由得，因为, 所以 .2分当时，解得1,即为真时，实数的取值范围是1.又为真时实数的取值范围是.4分若为真，则真且真，所以实数的取值范围是. .7分(2) p是q的必要不充分条件，即qp,且pq， 设A=, B =, 则AB, .10分又，A
15、=；所以有解得 所以实数的取值范围是. .13分【思路点拨】(1) 利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若pq为真，则p真且q真，即可得出；(2)p是q的充分不必要条件，即pq，且qp，即可得出【题文】18. (本小题满分13分) 函数(且)是定义在实数集上的奇函数(1) 若, 试求不等式的解集；(2) 若且在上的最小值为, 求的值【知识点】奇偶性与单调性的综合B3 B4 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）是定义在R上的奇函数， .2分，又且 4分易知在R上单调递增，原不等式化为：，即不等式的解集为. .7分 （2），即（舍去）9分令当时，当时，当时，当时，.12分解得，舍去. 综上可
16、知 .13分【思路点拨】（1）根据f（x）是定义域为R的奇函数，可得k=1，从而（a0，且a1），利用f（1）0，可得a1，从而可证f（x）在R上单调递增，故原不等式化为，从而可求不等式的解集；（2）根据确定a=2的值，从而可得函数,令，由（1）可知为增函数，可得tf（1）=，分类讨论，利用最小值为2，可求m的值【题文】19. (本小题满分13分) 如下图1, 在中, , , . , 分别是, 上的点, 且/, 将沿折起到的位置, 使(如下图2).(1) 求证: 平面;(2) 若, 求与平面所成角的正弦值. 图1图2【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角G4 G5 【答案解析】(1
17、)见解析 (2) 解析：(1) 证明： 在中， 2分又.由 .4分. .7分(2) 如图, 以为原点，, , 分别为轴, 轴, 轴, 建立空间直角坐标系. 因为, 所以, 又/, 所以, 所以.则. .设为平面的一个法向量， .8分因为所以, 即，令，得. 所以为平面的一个法向量 .11分设与平面所成角为, 则所以与平面所成角的正弦值为 13分【思路点拨】（1）由中，且/,，证出A1DDE结合A1DCD，可得A1D面BCDE，从而得到最后根据线面垂直判定定理，结合BCCD可证出BC面A1DC；（2）以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系如图所示可得D、E、B、A1各点
18、的坐标，从而算出，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出为平面A1BC的一个法向量根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出与平面所成角的正弦值。【题文】20. (本小题满分12分) 已知函数(). (1) 若曲线在点处的切线与轴平行, 求的单调区间和极值; (2) 讨论在上的单调性; (3) 若在上是单调函数, 求的取值范围.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程B12【答案解析】(1) 的增区间为，减区间为，, 无极小值. (2) 当时, 在，当时, 在，在在（3） 解析：(1) ，有 得，故. .2分 令得，故在 令
19、得，故在 故的增区间为，减区间为， , 无极小值. .4分(2) 当时，故在当时，令得， 令得所以在，在在综上: 当时, 在 当时, 在，在在.8分(3)由题意可知：在上是单调函数 当时，在上恒大于零，即，符合要求； 当时，令，则由题意可知或，解得: .的取值范围是 .12分【思路点拨】（1）根据在点（1，f（1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率再列出一个等式，最后解方程组即可求得a，再利用导数，根据f（x）0求得的区间是单调增区间，f（x）0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可（2）先求导，再根据a的值进行
20、分类讨论即可（3）先求出g（x）的导数，再分a0，a0，进行讨论，当a0，构造函数h（x）=ax2+x1，求得a的范围【题文】21. (本小题满分12分) 以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”. 已知椭圆的离心率为, 且过点(1) 求椭圆及其“伴随”的方程; (2) 过点作“伴随”的切线交椭圆于, 两点, 记为坐标原点)的面积为, 将表示为的函数, 并求的最大值.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8 【答案解析】(1) (2) ，的最大值为1.解析：(1) 椭圆的离心率为, 则, 设椭圆的方程为 2分椭圆过点， ， .4分椭圆的标准方程为， 椭圆的“伴随”方程为. .6分(2
21、) 由题意知，.易知切线的斜率存在,设切线的方程为由得 .8分设, 两点的坐标分别为, , 则, .又由与圆相切, 所以, . 所以 10分 , .(当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1. .12分【思路点拨】（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC的面积，运用基本不等式即可得到最大值【题文】22（本小题满分12分）已知定义在上的函数,
22、其中表示不小于的最小整数,如, , . (1) 求的值, 其中为圆周率; (2) 若在区间上存在, 使得成立, 求实数的取值范围;(3) 求函数的值域. 【知识点】函数的值域B3 【答案解析】(1) (2) （3）解析：(1) 因为, , 所以 .3分(2) 因为, 所以, . . . . .4分则. 求导得, 当时,显然有, 所以在区间上递增, 即可得在区间上的值域为, . . . .6分在区间上存在, 使得成立,所以. . .7分 (3) 由于恒成立, 且, 不妨设. 易知, 下面讨论的情况. . .8分当时, , . 所以,当, , 时, , .设, 所以在上是增函数,故当时，, 因此的值域为 . .10分记, . 当时, , 即 当时, , 即而,所以.故的值域为 . .12分【思路点拨】（1）分开化简求值，（2）化简函数表达式，求导确定函数单调性，将恒成立问题化为最值问题；（3）分类讨论函数的取值，再求并集
