1、2014高考直通车高考二轮攻略30讲第7讲 函数的综合应用(2)【课前诊断】1(2013高考安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.解析设1x0，则0x11，所以f(x1)(x1)1(x1)x(x1)又因为f(x1)2f(x)，所以f(x).答案2若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为_解析方法一(换元法)设t2x (t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个
2、负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.答案(，223(2013高考上海卷)设a为实常数，yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)9x7.若f(x)a1对一切x0成立，则a的取值范围为_解析f(0)0，故0a1a1；当x0时，f(x)9x7a1，即6|a|a8，又a1，故a.答案(，4(2010课标全国改编)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_解析：a、b、c互不相等，不妨设abc，f(a)f(b)f(c)，由图象可知0a1,1b
3、10,10c12.f(a)f(b)，|lg a|lg b|，lg alg b，即lg alga，ab1,10abcc1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)冲刺强化练习(7)1关于x的方程exlnx1的实数根的个数是_解析exln x1(x0)ln x(x0)ln x()x(x0)，令y1ln x(x0)，y2()x(x0)，在同一坐标系内画出函数y1lnx和y2()x的大致图象，如图2所示，根据图象可知两函数只有一个交点，所以方程exln x1
4、的根的个数为1.答案12设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件yf(x1)是偶函数，且当x1时，f(x)2x1，则f()，f()，f()的大小关系是_(按从大到小的顺序排列)解析函数yf(x1)是偶函数，所以f(x1)f(x1)，即函数关于x1对称所以f()f()，f()f()，当x1时，f(x)()x1单调递减，所以由，得f()f()f()，即f()f()f()答案f()f()f()3若函数y()|1x|m的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是_解析首先作出y()|1x|的图像(如右图所示)，欲使y()|1x|m的图像与x轴有交点，则1m0.答案1m04定义在R上的奇函数f(x)满足：
5、当x0时f(x)xf(x)0，且f(2)0，则(x3)f(x)0的解集为_解析当x0时，令g(x)，则g(x)，由题设得，g(x)0，且g(2)0因为f(x)是奇函数，所以g(x)是偶函数由此可画出g(x)的简图，结合图形可得解集为：(2，0)(2，3)答案(2，0)(2，3)5函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)，则不等式f(x)的解集为_解析当x1时，f(x)1，且1，又由f(x)，可知当x1时，f(x)；当x1时，f(x).故f(x)的解集为x1，因此x (1，)答案(1，)6若函数f(x)4xk2xk3，有唯一零点，则实数k的取值范围是_解析设t2x，t0，x的方程4xk2xk
6、30转化为t2ktk30，设f(t)t2ktk3，原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，f(0)0，或0，k3，或k6答案(，3)67(2012福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_解析f(x)(2x1)*(x1)，即f(x).如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，即x1x2x3.当x0时，x2xm，即x2x
7、m0，x2x31，0x2x32，即0x2x3；当x0时，由得x，x10，0x1.0x1x2x3，x1x2x30.答案8(2011湖北)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，则f(2)_.解析f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，由f(x)g(x)axax2，得f(x)g(x)axax2，得g(x)2，得f(x)axax.又g(2)a，a2，f(x)2x2x，f(2)2222.答案9若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线x2对称，则f(x)的最大值为_解析方法一：因为f(x)4x33ax22(1b)xa，函数f(x)
8、是连续可导函数，且关于直线x2对称，所以f(2)0，即f(2)3212a4(1b)a0，可得11a4b28，又因为f(0)f(4)，所以15a4b60，联立方程组可得a8，b15，f(x)(1x2)(x28x15)，f(x)4(x36x27x2)，因为2是函数f(x)的一个极值点，所以f(x)4(x2)，可知当x时，f(x)单调递增，当x时，f(x)单调递减，当x时，f(x)单调递增，当x时，f(x)单调递减，且ff，所以fff806416.方法二：令f0可得x1或x1，因为函数f(x)的图像关于直线x2对称，所以，可得以下同方法一答案1610(2010辽宁卷)已知函数f(x)(a1)ln x
9、ax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a1，如果对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|，求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当1a0时，令f(x)0，解得x .所以当x时，f(x)0，此时函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，此时函数f(x)单调递减(2)不妨设x1x2，而a1，由(1)知f(x)在(0，)上单调递减，从而对于任意的x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|成立，它等价于对任意的x
10、1，x2(0，)，有f(x2)4x2f(x1)4x1.令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4，式等价于g(x)在(0，)上单调递减，即2ax40在(0，)上恒成立，从而a2在(0，)上恒成立，由于22，故a的取值范围是(，2.11已知函数f(x)x28lnx，g(x)x214x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a1)上均为增函数，求a的取值范围；(3)若方程f(x)g(x)m有唯一解，试求实数m的值解(1)因为f(x)2x，所以切线的斜率kf(1)6.又f(1)1，故所求的切线方程为y16(x1)即y6x7.(2)因为f(x)，
11、又x0，所以当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0时原方程有唯一解，所以函数yh(x)与ym的图像在y轴右侧有唯一的交点又h(x)4x14，且x0，所以当x4时，h(x)0；当0x4时，h(x)0时原方程有唯一解的充要条件是mh(4)16ln224.13(2013高考福建卷文)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求k的最大值解：法一：(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x
12、轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，xln a.x(，ln a)，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值(3)当a1时，f(x)x1.令g(x)f(x)(kx1)(1k)x，则直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，等价于方程g(x)0在R上没有实数解假设
13、k1，此时g(0)10，g10，知方程g(x)0在R上没有实数解所以k的最大值为1.法二：(1)(2)同法一(3)当a1时，f(x)x1.直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，等价于关于x的方程kx1x1在R上没有实数解，即关于x的方程：(k1)x.(*)在R上没有实数解当k1时，方程(*)可化为0，在R上没有实数解当k1时，方程(*)化为xex.令g(x)xex，则有g(x)(1x)ex.令g(x)0，得x1，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)当x1时，g(x)min，同时当x趋于时，g(x)趋于，从而g(x)的取值范围为.所以当时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是(1e,1)综合，得k的最大值为1.
